期望和期望的性質

1. 若E[X]和E[Y]均有限，在(X,Y)連續的情況下：

    E[X+Y]=E[X]+E[Y]

    E[X₁+X₂+...X_n]=E[X₁]+E[X₂]+...+E[X_n]

    (上式不要求X,Y獨立)

2. 若X,Y具有二元分布列p(x,y)，那么：

    E[g(X,Y)]=∑∑g(x,y)p(x,y)

    若X,Y具有聯合分布密度，那么：

    E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy

3. 若X,Y獨立，那么：

    E[X₁X₂...X_n]=E[X₁]E[X₂]...E[X_n]

4. 樣本均值的期望等於其分布的均值。

5. 若X,Y獨立，那么：

    E[g(X)h(Y)]＝E[g(X)]E[h(Y)]

6. 協方差Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]

                         =E[XY]-E[X]E[Y]

7. 若X₁,...X_n 兩兩獨立，那么Var(∑X_i)=∑Var(X_i)

   即，獨立隨機變量和的方差等於他們方差的和。

8. 兩個隨機變量X,Y的相關系數ρ=Cov(X,Y)/sqrt(Var(X)·Var(Y))

   相關系數是兩個隨機變量間線性依賴程度的一種度量。 -1≤ρ≤1

   ρ接近0，表示兩者缺乏線性依賴性。ρ=0，X,Y不相關。

   ρ取正值，X增加時Y趨於增加；

   ρ取負值，X增加時Y趨於下降。

9. 浙江大學，概率論與數理統計，數學期望，產品產量、銷售量與利潤期望的問題：

    銷售量Y是個隨機變量，產品產量x是一個待求的非隨機變量。

    如果把這兩者畫在數軸上，Y的位置是隨機游動的。根據Y與x的相對位置，利潤有不同的表達式（Y在x左側，產品有積壓；Y在x右側，產品無積壓）。

    這樣將期望表達式的積分區間分為[0,x]和[y,+∞]。