期望DP

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數學期望

符號

\(E=p*v\) 其中\(E\)為期望，\(v\)為權值，\(p\)為概率

含義

期望表示多個可能事件的合理分配情況 (本人自己的理解，不喜勿噴)
漢語期望意思是指人們對某樣東西的提前勾畫出的一種標准，達到了這個標准就是達到了期望值(百度百科)
數學期望也可認為是進行某件事能得到的平均結果，或者理想代價
期望值也許和每個得到值都 不相等
舉個例子
你去買彩票，每張彩票\(10\)元，中了獎可以得\(10000\)元，有\(30\%\)的概率中獎
我們來算一下買一張彩票的期望利潤
首先有\(30\%\)的概率中獎，根據定義期望得到\(30\%*10000\)元
又有\(70\%\)的概率不中獎，那么我們期望得到\(70\%*0\)元
我們每次買一張彩票\(100%\)會花掉\(10\)元
所以有\(E=30\%*10000+70\%*0-10=290\)
我們可認為每買一張彩票賺了\(290\)元
但是實際上無論怎樣，一張彩票都不會賺\(290\)元的。

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轉移方程

幾種常見設轉移方程數組的方法

1. 設\(f[i]\)表示的是由\(i\)狀態變成 最終 狀態的期望
2. 按照題意直接設
3. 把選擇的東西加入數組，如\(f[i][j]\)表示第\(i\)個物品選\(j\)個的期望或\(f[i][j]\)表示有\(i\)個\(A\)物品，\(j\)個\(B\)物品的期望

求轉移方程
應優先考慮進行操作后當前狀態會怎么樣，而不是如何變成當前狀態，即先考慮 逆向
如果逆向沒有思路，則考慮 正向

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經典例題

注：沒有貼出代碼，有些題目現在找不到了 (至少博主沒有找到)，也有博主自己想的題目 (很水)，如博主有寫代碼則已放進標題的鏈接里，那些鏈接都是題解，不是原題鏈接

SP1026FavoriteDice

題目大意

一個\(n\)面的骰子，求期望擲幾次能使得每一面都被擲到

解決方法

設\(f[i]\)表示已經擲到過\(i\)面，還 期望擲多少次骰子使每一面都被擲到
現在擲一次骰子，有兩種情況

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率擲到已經擲到過的面，此時仍然還要擲\(f[i]\)次骰子
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率擲到沒擲到過的面，此后就擲到過\(i+1\)個面了，還需擲\(f[i+1]\)次骰子

需要注意的是，無論是擲到以上哪種情況，都需要擲一次骰子
所以有
\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)
將其化簡
\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案為\(f[0]\)
應逆向循環

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塗格子/小孩和禮物

題目大意

有\(n\)個格子，每次等概率隨機給一個格子染色，問塗\(m\)次后期望有多少格子被染色了

解決方法

設\(f[i]\)表示塗\(i\)次后期望有多少格子被染色了
現在進行第\(i\)次染色，仍然有兩種情況

1. 有\(\frac{f[i-1]}{n}\)的概率塗到已經塗過的格子
2. 有\(\frac{n-f[i-1]}{n}\)的概率塗到沒塗過的格子

需要注意的是，無論是以上哪種，都已經有\(f[i-1]\)個格子被染色了
所以有
\(f[i]=\frac{f[i-1]}{n}·0+\frac{n-f[i-1]}{n}·1+f[i-1]\)
將其化簡
\(f[i]=\frac{n-f[i-1]}{n}+f[i-1]=\frac{n-1}{n}f[i-1]+1\)
此時該式就是一個等差數列套等比數列
於是我們可以求其通項公式，博主懶得求了寫下大致過程

令\(k=\frac{n-1}{n}\)
\(f_n=kf_{n-1}+1\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=kf_{n-1}+\frac{k}{k-1}\)
\(f_n+\frac{1}{k-1}=k(f_{n-1}+\frac{1}{k-1})\)
令\(g_n=f_n+\frac{1}{k-1}\)
則\(g_n=kg_{n-1}\)
怎么求\(g_n\)就不用說了吧
\(f_n=g_n-\frac{1}{k-1}\)
\(f_n\)也能求出來了

初值\(f[0]=0|f[1]=1\)答案為\(f[m]\)
應正向循環

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簡單題

題目大意

桌面上有R張紅牌和B張黑牌，隨機打亂順序后放在桌面上，開始一張一張地翻牌，翻到紅牌得到1美元，黑牌則付出1美元。可以隨時停止翻牌，在最優策略下平均能得到多少錢。

解決方法

設\(f[i][j]\)表示有\(i\)張紅牌，\(j\)張黑牌的期望收益
考慮翻一張牌，還是有兩種情況

1. 有\(\frac{i}{i+j}\)的概率翻到紅牌，此后就只有\(i-1\)張紅牌，\(j\)張黑牌
2. 有\(\frac{j}{i+j}\)的概率翻到黑牌，此后就只有\(i\)張紅牌，\(j-1\)張黑牌

需要注意的是，不要忘了翻開的牌的貢獻
翻開一張牌后，該顏色牌數目就少了一張

所以有
\(f[i][j]=\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1)\)
由於是最優策略，所以咱是不可能賠錢的
\(f[i][j]=max(0,\frac{i}{i+j}(f[i-1][j]+1)+\frac{j}{i+j}(f[i][j-1]-1))\)

初值\(f[0][1]=0,f[i][0]=i\)，答案為\(f[R][B]\)
應正向循環

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亞瑟王

題目大意

給出\(n\)個技能，每個技能按輸入順序有\(p[i]\)的概率釋放並造成\(d[i]\)的傷害。每輪游戲從前往后順序查看每個技能，若技能發動過則跳過，沒發動過則以\(p[i]\)的技能發動，即每個技能只能發動一次，若將一個技能發動，則進行下一輪游戲，沒有成功發動或被跳過就查看下一個技能，一輪游戲可能每個技能都不發動，問\(r\)輪游戲一共能造成的傷害期望。

解決方法

因為有一個順序查看的限制，沒有后效性的狀態是十分不好設的，因為不知道前面有幾個技能發動了，若一個技能前面的技能在某輪發動了，則該技能本輪一定不能發動，若前面有些技能發動過，則它們都會被跳過
為了解決這種情況，我們設狀態時試着強制限制技能發動（\(nr\)枚舉情況），當然，設的狀態仍然要滿足 所有 情況都考慮在內
設\(f[i][j]\)表示對前\(i\)個技能進行了\(j\)輪游戲發生的 概率
若前\(i\)個技能進行了\(j\)輪游戲
則有\(j\)輪不會考慮第\(i+1\)個技能
即有\(r-j\)輪游戲選擇了\(i\)之后的技能
此時考慮第\(i+1\)個技能的情況，分為兩種

1. 有\(p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)號技能從未發動
2. 有\(1-p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)號技能發動過

需要注意的是，此時 已經 確定前\(i\)個技能進行並 只進行 了\(j\)輪游戲，其概率應該也計算在內
所以有

1. \(f[i+1][j]+=1-p[i+1]^{r-j}f[i][j]\)
2. \(f[i+1][j+1]+=(1-p[i+1]^{r-j})f[i][j]\)

\(j+1\)要小於等於\(r\)

初值\(f[0][0]=1\)，答案在中途計算
應正向循環

計算了概率，別忘了求的是期望傷害，在求概率的時候順便用概率乘以傷害

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抽卡

題目大意

\(\mathcal{Morning\_Glory}\)最近迷上了抽卡，每次抽卡抽到\(6\)星卡的概率為\(p\)。抽卡活動進行\(n\)天，\(\mathcal{Morning\_Glory}\)非常喜歡抽卡，所以他不會錯過這個活動的每一天，即每天都一定會抽卡，在第\(i\)天必須要花\(c[i]\)游戲幣進行抽卡。求\(\mathcal{Morning\_Glory}\)在活動結束時抽得恰好\(k\)張\(6\)星卡的期望游戲幣花費。

解決方法

設\(f[i][j]\)表示在第\(i\)天結束后抽到\(j\)張\(6\)星卡的期望游戲幣花費
在第\(i\)天進行抽卡，有兩種情況

1. 有\(p\)的概率抽到\(6\)星卡
2. 有\(1-p\)的概率沒抽到\(6\)星卡

需要注意的是無論是否翻到，都要花費
所以有
\(f[i][j]=p·f[i-1][j-1]+(1-p)·f[i-1][j]+c[i]\)

初值\(f[0][0]=0\)，答案為\(f[n][k]\)
應正向循環

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收集郵票

POJ3682King Arthur's Birthday Celebration

這兩道題是一樣的類型，只需將概率與計算改一下即可，這里用收集郵票來做例題
題目大意

有\(n\)種郵票，每天等概率的買一張郵票，第\(i\)天購買要花費\(i\)元，求收集\(n\)種郵票的期望花費

解決方法

先設\(f[i]\)表示買到\(i\)種郵票后，離買到\(n\)種郵票的期望還差天數
和最上面那題一樣的處理方法
考慮當前買了\(i\)張郵票，再買一張郵票，有兩種情況

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率買到重復的郵票，此時仍只買到\(i\)張郵票
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率買到沒買過的郵票，此后就已買到\(i+1\)張郵票

需要注意的是，無論哪種情況，都過了一天
所以有
\(f[i]=\frac{i}{n}f[i]+\frac{n-i}{n}f[i+1]+1\)
將其化簡
\(f[i]=f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(f[n]=0\)，答案為\(f[0]\)
應逆向循環

當然這只是期望天數，不是期望花費
設\(g[i]\)表示 擁有(不是買)\(i\)種郵票， 買到\(n\)種郵票的期望花費
考慮當前擁有了\(i\)張郵票，買一張郵票，有兩種情況

1. 有\(\frac{i}{n}\)的概率買到重復的郵票，此時仍只擁有\(i\)種
2. 有\(\frac{n-i}{n}\)的概率買到沒買過的郵票，此后就已擁有\(i+1\)張郵票

需要注意的是，無論哪種情況，都買了一張郵票
此時我們不知道每張郵票多少錢
但我們知道每張郵票和過了多少天有關
這次的注意寫在前面，我們是認為有了\(i\)張郵票后才開始，所以第一天郵票價格為\(1\)元
為什么這么設？
我們不知道也不好處理出前面買了多少張郵票，再買到一張郵票要多少錢
但是我們知道第一天肯定是只要\(1\)元的，答案為\(g[0]\)，中間的過程不重要，只需推出最終答案
我們借助初始狀態的這條非常有用的性質於是就設出了這樣的\(g\)
這樣我們可以知道

1. 若買到重復的郵票，我們知道，因為是設當前是第一天，所以原本希望買到的郵票的天數又往后推了一天，所以總價格要多\(f[i]\)元，還要加上自己的\(1\)元
2. 若買到沒買過的郵票，同理，因為后面的\(g[i+1]\)也是從第\(1\)天開始考慮的，所以原本希望買到的郵票數也往后推了一天，所以價格要多\(f[i+1]\)元，還要加上自己的\(1\)元

所以有

1. \(g[i]+=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)\)
2. \(g[i]+=\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

總寫下來就是\(g[i]=\frac{i}{n}(g[i]+f[i]+1)+\frac{n-i}{n}(g[i+1]+f[i+1]+1)\)

將其化簡得到
\(g[i]=\frac{i}{n-i}f[i]+g[i+1]+f[i+1]+\frac{n}{n-i}\)

初值\(g[n]=0\)，答案為\(g[0]\)
應逆向循環

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