0.前言
如有錯誤，歡迎指出。（什么錯誤都可以。）
同步於 \(luogublog\) 發布。
前置芝士
1.還是 oi-wiki 上面的那句話， 會用 STL_SET 就行。（不會的話，也可以去學習一下。）
1.什么是珂朵莉樹
當你在 oi-wiki 上面看到一個叫做珂朵莉樹的數據結構時，你可能會很好奇，也可能會覺得 oi-wiki 非常高大尚。但是，今天我要在這里告訴你：珂朵莉樹賊簡單，在比賽中也很實用！
好，不多說廢話，我們進入正題。
珂朵莉樹起源題:CF896C，也是我們后面講述的例題。可以發現，在這個題目中，前面三個操作我們都還可以運用主席樹實現，但是當你看到第4個操作嘛，呵呵，我可以猜到你的心情。
珂朵莉樹，又名 old driver tree 老司機樹，（ODT樹）,在比賽中，一般 是用來騙分的。對於這一種數據結構，它只適用於隨機數據，對於精心策划的數據將會被卡掉，但是在比賽中，卡珂朵莉樹的數據畢竟少，所以可以在不知道正解的情況下騙到很多分。
為什么我們說他實用呢？因為在比賽中，通常出現這樣的情況:正解是一棵長度需要想和寫很久的權值線段樹或者平衡樹，但是，如果你采用珂朵莉樹，你可以非常快速的的打完，並且還可以至少得到正解差不了太多分的分數（一般也就差10~20分，並且如果出題人忘記卡了的話，甚至可以得到滿分）。更為重要的是，如果你正解代碼出現了億些錯誤，那么你將會死的更慘，而珂朵莉樹易於調試不易寫錯的特點，則更能保證你在比賽中的成績。
雖然珂朵莉樹在比賽中比較實用，但是在學習 OI 的時候，最好還是不要使用它來騙分了，乖乖打正解吧！
2.珂朵莉樹具體做法
珂朵莉樹基於 STL_SET 實現，他之所以是一棵樹也跟 SET 是有關系的，他的具體思想是：將一個權值相同的子段看作一個節點來看待。
我們先定義一個結構體來儲存節點，即每個權值相同的區間：
#define ll long long//因為珂朵莉樹可以存下長度很大的節點以及權值，所以開 long long
struct odt
{
ll l,r;//將該字段化為一個節點后，他的左端點和右端點
mutable ll val;//該字段的權值
bool operator <(const odt &n)const//重載小於運算符，因為要存入set就必須有小於符號的定義
{
return l<n.l;
}
//下面的在后面代碼中有用。
odt(ll a,ll b,ll c)
{
l=a,r=b,val=c;
}
odt(ll a)
{
l=a;
}
};
剛剛在代碼中，或許你看到了一個你並不認識的關鍵字 mutable。mutable譯為可變的。因為我們在 CF896C 當中有區間加操作，需要給改變 \(val\) 的值，而 set 中是默認不能改的，所以我們需要加上 mutable 關鍵字。
然后，我們在申請一個 SET 來儲存這棵珂朵莉樹。
set<odt> tree;
接着，我們再宏定義一下 set 的迭代器，方便我們在以后訪問時使用。
#define It set<odt>::iterator
注意，接下來是重點！
在珂朵莉樹中，最重要的操作無疑是 split 操作，即分裂一個節點。這時，或許你會十分疑惑，珂朵莉樹都存好了，為什么還有分裂節點呢？
我們可以先想這樣一個問題，假設現在只有一個節點，他表示的是區間 \([1,8]\)。在 CF896C 中，我們有區間加操作。如果我們要將區間 \([5,7]\) 全部加上 \(3\) ，那該怎么辦呢。由於我們在珂朵莉樹中，不存在以 \(5\) 或 \(7\) 為開頭的節點。所以我們需要將節點 \([1,8]\) 分裂成 \([1,4][5,7][8,8]\)，我們才能完成操作。所以你現在明白 split 的重要性了吧。
假設我們現在需要一個以 \(x\) 為左端點的節點。我們可以現在 \(set\) 中直接二分查找，找到第一個左端點大於等於 \(x\) 的節點。如果這個左端點於 \(x\) 相等，則就說明 set 中存在以 \(x\) 為左端點的節點，我們就不需要分裂。如果不相等，我們將這個左端點所在的節點的上一個節點進行分裂。（因為上一個節點才包含我們要找的 \(x\)。）最后，我們再返回這個節點所在的迭代器。
代碼:
It split(ll x)//分裂，返回以 x 為左端點的節點的迭代器
{
It it=tree.lower_bound(odt(x));//直接進行二分查找
if(it!=tree.end()&&it->l==x)//如果相等，且不是 set 中的尾指針
return it;//直接返回迭代器。
it--;//我們將當前迭代器減1，因為要找上一個。
ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;//我們找到上一個節點的所有信息，儲存下來，以免在刪除時指針失效無法訪問。
tree.erase(it);//將該節點刪除
tree.insert(odt(l,x-1,val));//先將該節點分裂為區間 [l,x-1]
return tree.insert(odt(x,r,val)).first;//然后以 x 為左端點再分裂一個區間，由於 insert 后返回的是一個 pair 類型，所以我們需要返回 first 來返回迭代器。
}
時間復雜度的保證-Assign
顯然，如果我們一直分裂下去，節點就會越來越多，漸漸退化成暴力，這樣是對我們不利的。所以我們需要去改變。
現在有一個操作，assign，推平一個區間，將一個區間賦成同一個值。顯然，我們可以直接取出在這個區間里面的所有節點，然后直接刪除，最后在新建一個節點來表示這個區間。
這樣，我們就能有效控制節點個數，保證時間復雜度了。由於本人能力有限，不會證明復雜度，所以我就在這里貼一個珂朵莉時間復雜度的證明。
Assign 代碼：
void assign(ll l,ll r,ll val)//將 [l,r] 賦值為 val
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);//我們無論是什么操作，我們都先取出右端點，因為先取左端點的話，左端點的指針可能會失效。
tree.erase(it1,it2);//刪除區間 [l,r+1)
tree.insert(odt(l,r,val));//新建以l為左端點，r為右端點的節點
}
其他操作
一個比一個更暴力更玄學,就是把這個區間所有的節點取出來就可以了。
操作三，求區間第 \(k\) 小整數示例代碼:
ll qsort(ll l,ll r,ll x)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);//還是像往常一樣，取出以左端點開始，和 右端點加一的 迭代器。
vector<pair<ll,ll> > p;//為了方便排序，直接用pair
for(It it=it1;it!=it2;it++)
{
p.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));//將區間中所有節點放入p數組。
}
stable_sort(p.begin(),p.end());//將p數組排序
for(ll i=0;i<p.size();++i)
{
x-=p[i].second;//每次減去這個結點的長度
if(x<=0)//如果小於等於0，那顯然第 x 小的整數就在這個節點上。
return p[i].first;
}
}
操作4，求區間每個數字的 \(x\) 次方模 \(y\) 的值的和 實例代碼:
ll qpow(ll a,ll b,ll p)//快速冪 a^b%p
{
ll ans=1;
a%=p;
while(b)
{
if(b&1)
(ans*=a)%=p;
(a*=a)%=p;
b>>=1;
}
return ans%p;
}
ll pow_mod(ll l,ll r,ll x,ll y)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);//照常取出
ll ans=0;//答案
for(It it=it1;it!=it2;it++)
{
//將每個節點暴力取出算快速冪就可以了。
ll res=qpow(it->val,x,y)*(it->r-it->l+1);
res%=y;
ans+=res;
ans%=y;
}
return ans;//返回
}
我們很早就說到，珂朵莉樹只適合解決隨機生成的數據，而這個題目不就是給你隨機數種子自己生成數據嗎，那珂朵莉樹的復雜度是肯定可以承受住這個題目的了。
最后，貼上完整代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define mod int(1e9+7)
#define It set<odt>::iterator
ll n,m;
ll seed,vmax;
ll a[1000005];
ll rnd()
{
ll res=seed;
seed=(seed*7+13)%mod;
return res;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll p)
{
ll ans=1;
a%=p;
while(b)
{
if(b&1)
(ans*=a)%=p;
(a*=a)%=p;
b>>=1;
}
return ans%p;
}
struct odt
{
ll l,r;
mutable ll val;
bool operator <(const odt &n)const
{
return l<n.l;
}
odt(ll a,ll b,ll c)
{
l=a,r=b,val=c;
}
odt(ll a)
{
l=a;
}
};
set<odt> tree;
It split(ll x)
{
It it=tree.lower_bound(odt(x));
if(it!=tree.end()&&it->l==x)
return it;
it--;
ll l=it->l,r=it->r,val=it->val;
tree.erase(it);
tree.insert(odt(l,x-1,val));
return tree.insert(odt(x,r,val)).first;
}
void assign(ll l,ll r,ll val)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);
tree.erase(it1,it2);
tree.insert(odt(l,r,val));
}
void add(ll l,ll r,ll val)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);
for(It it=it1;it!=it2;it++)
{
it->val+=val;
}
}
ll qsort(ll l,ll r,ll x)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);
vector<pair<ll,ll> > p;
for(It it=it1;it!=it2;it++)
{
p.push_back(make_pair(it->val,it->r-it->l+1));
}
stable_sort(p.begin(),p.end());
for(ll i=0;i<p.size();++i)
{
x-=p[i].second;
if(x<=0)
return p[i].first;
}
}
ll pow_mod(ll l,ll r,ll x,ll y)
{
It it2=split(r+1),it1=split(l);
ll ans=0;
for(It it=it1;it!=it2;it++)
{
ll res=qpow(it->val,x,y)*(it->r-it->l+1);
res%=y;
ans+=res;
ans%=y;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&seed,&vmax);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
a[i]=rnd()%vmax+1;
tree.insert(odt(i,i,a[i]));
}
tree.insert(odt(n+1,n+1,0));
while(m--)
{
int op=rnd()%4+1,l=rnd()%n+1,r=rnd()%n+1,x,y;
if(l>r)
swap(l,r);
if(op==3)
x=rnd()%(r-l+1)+1;
else
x=rnd()%vmax+1;
if(op==4)
y=rnd()%vmax+1;
if(op==1)
add(l,r,x);
else if(op==2)
assign(l,r,x);
else if(op==3)
printf("%lld\n",qsort(l,r,x));
else
printf("%lld\n",pow_mod(l,r,x,y));
}
return 0;
}
3.后記
珂朵莉樹這東西好是好，簡單是簡單。但是我還是覺得平常練習的時候就不要用了，要是教練看到你用了，一氣之下把你卡掉那可就不好玩咯。
至於有關珂朵莉樹的例題嘛，還是很多的，可以參見 oi-wiki 和其他有關珂朵莉樹的文章。