連分數

目錄

• 連分數的概念和來源
• 連分數的思想
• 連分數的表示與一些性質
• 連分數的計算方法
• 連分數的代碼實現

連分數的概念和來源

連分數是一種用有理數來逼近一個實數的好方法。比如我們對於無理數\(\pi\)，可以用分數\(\frac{314}{100}=\frac{157}{50}=3.14\)來近似的表示，但是分數\(\frac{31415}{10000}=\frac{6283}{2000}=3.1415\)是對於\(\pi\)的一個更好的逼近，而連分數方法就可以不斷的得到越來越好的逼近。

連分數的思想

設需要逼近的實數為x，不斷的找一個近似的有理數y（小於等於x），然后再找到一個小於等於x-y的有理數，重復直到達到精度要求或者最后尋找的近似數與被近似的數相等時，將這些數相加即可，因為后面需要近似的數越來越小，所以可以很容易看出精度在不斷的提高。

連分數的表示與一些性質

舉例：

\[[a_0,a_1,a_2,a_3]=a_0+\cfrac{1}{a_1\cfrac{1}{a_2\cfrac{1}{a_3}}} \]

在連分數中，從開始一直到第k個變元（\(a_k\)）構成的連分數，就是這個連分數的第k漸進分數，記作\(\frac{p_k}{q_k}\)。

最后一個漸進分數，也就是這個被逼近的數本身，第一個漸進分數就是\(a_0\)

漸進分數的分子\(p_k\)和\(q_k\)具有相同的遞推關系：

\[p_k=a_kp_{k-1}+p_{k-2} \\ q_k=a_kq_{q-1}+q_{q-2} \]

而為了滿足形式，記：

\[p_{-2}=0,p_{-1}=1\\ q_{-2}=1,q_{-1}=0 \]

連分數的計算方法

如果只按照上面這種敘述，其實很難理解到底應該怎么算，其實連分數的計算很簡單，主要也就是用到了求最大公約數時用到的輾轉相除法/歐幾里得算法，只不過gcd是算式\(a=kb+c\)中最后一個不為0的c就是最大公約數，而計算連分數需要用到每一個k（包括最后一個）。舉個例子：

\[\begin{equation} \begin{aligned} 12345&=\textbf{1}\times 11111 +1234 \\ 11111&=\textbf{9}\times 1234 + 5 \\ 1234&=\textbf{246}\times 5 + 4 \\ 5&=\textbf{1}\times 4+1\\ 4&=\textbf{4}\times 1+0\\ \end{aligned} \end{equation} \]

其中\(5=\textbf{1}\times 4+1\)中最后這個加的1就是12345和11111的最大公約數（最后一個非0的余數），而所有加粗的數字就是計算連分數所需要的變元\(a_k\)。

有了變元，就可以利用上述的遞推公式找到每一個漸進分數的分子和分母了。

連分數的代碼實現

在sagemath中，求變元的公式是：continued_fraction(a/b)，這個是一個‘sage.rings.continued_fraction.ContinuedFraction_periodic’類，可以遍歷，如果需要變成列表可以用強制類型轉換：list(contFrac(a/b))，然后把分子分母求出來就是用這個類的方法convergents()，返回一個列表。

例如：

>>> a = continued_fraction(12345/11111)
>>> b = a.convergents()
>>> print(a)
[1, 9, 246, 1, 4]
>>> type(a)
<class 'sage.rings.continued_fraction.ContinuedFraction_periodic'>
>>> print(b)
[1, 10/9, 2461/2215, 2471/2224, 12345/11111]
>>> type(b)
<class 'list'>

也可以自己寫：

#計算a/b的連分數的變元
def contFrac(a, b): 
    l = []
    if b > a:
    	a, b = b, a
    while b:
        l.append(a//b)
        a, b = b, a%b
    return l
def fun(cc):
    p_be, p_af = 0, 1
    q_be, q_af = 1, 0
    for i in cc:
        p_be, p_af = p_af, i * p_af + p_be
        q_be, q_af = q_af, i * q_af + q_be
    return p_af, q_af