連分數法解佩爾方程特解
一、佩爾方程的形式：
二、關於佩爾方程的特解：
特解是指佩爾方程的最小整數解，容易發現當x最小的時候y也同樣達到最小。在一般情況下，佩爾方程的特解是通過暴利枚舉方法得到的，本文將介紹如何用應用連分數法求特解。
本文將不涉及證明，只介紹方法。
三、連分數法：
一個實數的簡單連分數表示，是指將一個實數用以下方法表示：
可以把連分數簡記為：
有理數的連分數有兩種表示形式：
所有無限連分數都是無理數，而所有無理數都可以用一種精確的方式表示成無限連分數，可以用這種方法逼近，無理數的值。
四、關於一個非完全平方數的平方根的連分數表示：
可以證明：一個非完全平方數的平方根的連分數是以周期呈現的。
比如：
簡寫為：
在之后就會循環出現1,2,4,2,1,8
我們不妨這樣記這種連分數的形式：
顯然循環節的長度是6
並且還有個重要的特點：這個循環節一定是從
開始的，且最后一個數
一定是2倍的
五、求解佩爾方程的最小特解：
我們將
寫成連分數的形式：
並且我們記：
（關於計算p,q：只要按照連分數的展開形式，迭代計算即可）
其中如果記循環節長度為s
那么有如下結論：
1、如果s為偶數時。最小特解為：
2、如果s為奇數時，最小特解為：
六、計算
：
我們希望得到准確的連分數展開，那么關鍵在於不用浮點型計算。接下來以為
例，解釋如何計算
的連分數。
我們記當前展開為
，那么首先
按照這種方式，我們計算出了的連分數：
然后可以計算出來：
由於循環節長度6是偶數，那么佩爾方程
的最小特解是：
之后我們參照上面的例子，來設計計算連分數的算法：
我們記：
那么顯然有：
之后我們可以得到：
可以證明，這里
一定是大於0的，這個實際上就是下次的
繼續推導有：
可以證明，分母是可以被
整除的。那么上式就可以寫成：
那么容易得到新的b,c是：
還有，結果很大1000以內好多結果都超long long了。。。要改成大數才行。。。
七、關於如何解佩爾方程：
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