矩陣行交換與左乘右乘 之間的關系、初等矩陣

定理：對矩陣進行 左乘 初等矩陣：等價於進行 行變換 並且單位矩陣做對應的行變換

​ 對矩陣進行 右乘 初等矩陣：等價於進行 列變換 並且單位矩陣做對應的列變換

初等矩陣

定義：初等矩陣是 單位 矩陣經過一次行或者列 初等變換 而形成的矩陣

性質：

1. 初等矩陣 一定 可逆
2. 多個初等矩陣的 乘積 形成的 矩陣 一定也 可逆

重要推論

對矩陣進行初等行列變換的時候，由於 矩陣左乘和右乘 定理， 所以對矩陣的所有行列變換都可以寫成 它與多個 初等矩陣的 乘積，這些初等矩陣的乘積可以放在一起變為 一個矩陣，這個矩陣一定是可逆的。

盡管在變換過程中，可以寫成： \(A\sim B\sim C \sim D\)

但是！A 不 相似於B ！！！

因為，假設 A 經過初等行變換變為B，則可以寫成：

\[PA=B \]

not

\[PAP^{-1} = B \]

總結

左 行 右 列