矩阵行交换与左乘右乘 之间的关系、初等矩阵

定理：对矩阵进行 左乘 初等矩阵：等价于进行 行变换 并且单位矩阵做对应的行变换

​ 对矩阵进行 右乘 初等矩阵：等价于进行 列变换 并且单位矩阵做对应的列变换

初等矩阵

定义：初等矩阵是 单位 矩阵经过一次行或者列 初等变换 而形成的矩阵

性质：

1. 初等矩阵 一定 可逆
2. 多个初等矩阵的 乘积 形成的 矩阵 一定也 可逆

重要推论

对矩阵进行初等行列变换的时候，由于 矩阵左乘和右乘 定理， 所以对矩阵的所有行列变换都可以写成 它与多个 初等矩阵的 乘积，这些初等矩阵的乘积可以放在一起变为 一个矩阵，这个矩阵一定是可逆的。

尽管在变换过程中，可以写成： \(A\sim B\sim C \sim D\)

但是！A 不 相似于B ！！！

因为，假设 A 经过初等行变换变为B，则可以写成：

\[PA=B \]

not

\[PAP^{-1} = B \]

总结

左 行 右 列