矩陣 $A^{m * n}$,向量 $x=\left[x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\right]^{T}$,$y=\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}\right]$
公式 1 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\right]$， $A x=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$
公式 2 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right]^{T}$, $y A=\sum \limits _{i=m}^{n} y_{i} x_{i}$
也就是說矩陣乘以列向量等以向量中每個元素乘以對應列再相加, 行 向量乘以矩陣等於行向量每個元素分別乘以對應的行再相加
1 初等矩陣左乘, 相當於行變換
由公式 2 可以引申出來， $\mathrm{YA}=\mathrm{C}$ ，則 $\mathrm{C} $ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素等於 $\mathrm{Y}$ 的第 $\mathrm{i}$ 行元素，按照從左到右的順序分別乘以 $\mathrm{A}$ 中對應的列, 然后再相加。舉個例 子:
$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$
如何讓 $\mathrm{A}$ 的第一行和第二行換下呢 ? 根據公式 2 的引申，則可以知道，讓 $\mathrm{Y}$ 的第一行的第一列元素為 $0$ ， 第一行第二列元素為 $1$，第三行第三列元素為 $0$ ， 則可以完成 $A$ 中第二行元素跑到第一行去， 同理可以讓 $A$ 中第一行 元素跑到第二行去也就是
$\begin{array}{c}Y=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\Y A=\left[\begin{array}{lll}4 & 5 & 6 \\1 & 2 & 3 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]\end{array}$
2 初等矩陣右乘, 相當於列變換
由公式 1 可以引申出來，$\mathrm{AX}=\mathrm{C}$， $\mathrm{C}$ 中的第 $ \mathrm{i}$ 列的元素等於 $ \mathrm{X}$ 中第 $\mathrm{i} $ 列的元素從上到下，按照順序㑊次乘以 $ \mathrm{A}$ 中的第 $\mathrm{i} $ 行，然后再加起來。同樣舉個例子
$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$
如何做到讓 $\mathrm{A}$ 的第一列和第二列交換 ? 根據公式 1 的引申很容易得到，只 要 $X$ 的第一列為 $0,1,0$ ; 第二列為 $1,0,0 $, 第三列 $0,0,1$ 即可也就是
$\begin{array}{c}X\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\A X=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\5 & 4 & 6 \\8 & 7 & 9\end{array}\right]\end{array}$