3.2 雙曲線

本文轉載自查看原文 2021-12-23 16:12 1740 選擇性必修第一冊【同步拔高】/ 圓錐曲線/ 雙曲線

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模塊導圖

知識剖析

定義

平面內與兩個定點$F_{1},F_{2}$，的距離之差的絕對值等於常數（小於$F_{1}F_{2}$）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．
如圖，$P$是雙曲線上一點，$| P F _ { 1 } - P F _ { 2 } | = 2 a \lt F _ { 1 } F _ { 2 }$.

${\color{Red}{解釋}}$
當$PF_1-PF_2=2a<F_1 F_2$時，軌跡僅表示雙曲線的右支；
當$PF_2-PF_1=2a<F_1 F_2$時，軌跡僅表示雙曲線的左支；
當$|PF_1-PF_2 |=2a=F_1 F_2$時，軌跡是一直線上以$F_1，F_2$為端點向外的兩條射線；
當$|PF_1-PF_2 |=2a>F_1 F_2$時，軌跡不存在.

幾何性質

實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

一些常用結論

①通徑：過焦點且垂直實軸的弦，其長度為$A B = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a }$;
②焦點到漸近線的距離是$b$;
③焦點三角形面積$S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \frac {\angle P } { 2 } }$;
④與雙曲線$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$共漸近線的雙曲線系方程是$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \lambda(\lambda \neq 0 )$
⑤焦半徑$|PF_1 |=ex_P+a，|PF_2 |=ex_P-a$(點$P$在雙曲線右支上)
⑥雙曲線$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$的參數方程$\begin{cases} { x = \dfrac { a } { \cos \theta } } \\ { y = b \cdot \tan \theta } \end{cases} ( \theta 為參數 )$.

經典例題

【題型一】雙曲線的定義

【典題1】平面內有兩個定點$F_1(-5,0)$和$F_2(5,0)$，動點$P$滿足條件$P F _ { 1 } - P F _ { 2 } = 6$，則動點$P$的軌跡是(　　)
A．橢圓 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．雙曲線 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．雙曲線的右支 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．雙曲線的左支

【解析】由$P F _ { 1 } - P F _ { 2 } = 6 <F_1F_2$知，點$P$的軌跡是以$F_1,F_2$為焦點的雙曲線右支，故選：$C$．
【點撥】
①注意雙曲線的定義中“絕對值”三字；
②若點$P$在右支，肯定$P F _ { 1 } - P F _ { 2 } >0$;若點$P$在左支，肯定$P F _ { 1 } - P F _ { 2 } <0$;
故題中的條件改為$P F _ { 1 } - P F _ { 2 } = 6$，則是雙曲線左支；改為$|P F _ { 1 } - P F _ { 2 }| = 6$，則是雙曲線.

【典題2】一動圓$P$過定點$M(-4,0)$，且與已知圓$N : ( x - 4 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 16$相切，求動圓圓心$P$的軌跡方程.
【解析】

動圓圓心為$P$，半徑為$r$，已知圓圓心為$N$，半徑為$4$;
由題意知$P M = r , \quad P N = r + 4$，所以$| P N - P M | = 4$，
即動點$P$到兩定點的距離之差為常數$4$，
$P$在以為$M,C$焦點的雙曲線上，且$2a=4,2c=8$，
所以$b=2\sqrt3$，
所以動圓圓心$M$的軌跡方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 12 } = 1$．
【點撥】
①兩圓$O_1,O_2$的半徑分別為$r _ { 1 } , r _ { 2 } ( r _ { 2 } \gt r _ { 1 } )$，若兩圓外切，則$O _ { 1 } O_ { 2 } = r _ { 2 } + r _ { 1 }$；若兩圓外切，則$O _ { 1 } O _ { 2 } = r _ { 2 } - r _ { 1 } ( r _ { 2 } \gt r _ { 1 } )$；
②雙曲線定義中的“常數”為$2a$，定點為焦點.

鞏固練習

1(★) 平面內到兩定點$F _ { 1 } ( - 3 , 0 ) , F _ { 2 } ( 3 , 0 )$的距離之差的絕對值等於$4$的點$M$的軌跡(　　)
A．橢圓 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．線段 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．兩條射線 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．雙曲線

2(★★)點$P$到圖形$C$上每一個點的距離的最小值稱為點$P$到圖形$C$的距離，那么平面內到定圓$C$的距離與到定點$A$的距離相等的點的軌跡不可能是(　　)
A．圓 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．橢圓 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．雙曲線的一支 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．直線

參考答案

$D$
$D$

【題型二】雙曲線方程

【典題1】已知方程$\dfrac { x ^ { 2 } } { 17 - k } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k - 8 } = 1$表示焦點在$x$軸上的雙曲線，則$k$的求值范圍是$\underline{\quad \quad}$.
【解析】方程$\dfrac { x ^ { 2 } } { 17 - k } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k - 8 } = 1$表示焦點在$x$軸上的雙曲線，
可得$17-k>0,k-8<0$，解得$k<8$.
【點撥】
曲線方程$C : \dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1$，
當$mn<0$時，$C$為雙曲線；
當$m>0,n<0$時，$C$為焦點在$x $軸上的雙曲線且$a^2=m$；
當$n>0,m<0$時，$C$為焦點在$y$軸上的雙曲線且$a^2=n$.
簡而言之：雙曲線,看分母正負.

【典題2】雙曲線過點$( 4 , \sqrt { 3 } ) , ( 3 , \dfrac { \sqrt { 5 } } { 2 } )$，則雙曲線的標准方程為$\underline{\quad \quad}$．
【解析】${\color{Red}{方法一}}$ 當雙曲線焦點在$x$軸上，設方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$，
則$\begin{cases} { \dfrac { 16 } { a ^ { 2 } } - \dfrac { 3 } { b ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dfrac { 9 } { a ^ { 2 } } - \dfrac { 5 } { 4 b ^ { 2 } } = 1 } \end{cases} \Rightarrow a ^ { 2 } = 4 , b ^ { 2 } = 1$，雙曲線的標准方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$．
當雙曲線焦點在$y$軸上，設方程為$\dfrac {y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$，
則$\begin{cases} { \dfrac { 3 } { a ^ { 2 } } - \dfrac { 16 } { b ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dfrac { 5 } { 2 a ^ { 2 } } - \dfrac { 9 } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{cases}$此方程組無解；
所以雙曲線的標准方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$．
${\color{Red}{方法二}}$ 由題意，設雙曲線方程為$m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$，代入點$( 4 , \sqrt { 3 } ) , ( 3 , \dfrac { \sqrt { 5 } } { 2 } )$，
得$\begin{cases}{ 16 m + 3 n = 1 } \\ { 9 m + \dfrac { 5 } { 4 } n = 1 } \end{cases}$，解得$m = \dfrac { 1 } { 4 } , n = - 1$．
所以雙曲線的標准方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$．
【點撥】求雙曲線的方法，可用待定系數法，方法一考慮到焦點的位置作分類討論求解，方法二則簡潔些，設雙曲線方程為$m x ^ { 2 } + n y ^ { 2 } = 1$.

【典題3】與雙曲線$C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = 1$共漸近線，且經過點$( 3 , \dfrac { \sqrt { 10 } } { 2 } )$的雙曲線標准方程是$\underline{\quad \quad}$ .
【解析】根據題意，要求雙曲線與雙曲線$C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = 1$共漸近線，
設要求的雙曲線為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = t , ( t \neq 0 )$，
又由雙曲線經過點$( 3 , \dfrac { \sqrt { 10 } } { 2 } )$，
則有$\dfrac { 9 } { 2 } - \dfrac { 10 } { 4 } = t$，解可得$t=2$，
則要求雙曲線的標准方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$.
【點撥】
①求雙曲線漸近線的一種方法，
比如求$\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } = 1$的漸近線，直接令$\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } =0 \Rightarrow \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = \dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } \Rightarrow y =\pm \dfrac { 2 x } { 3 }$,
該方法不需要確定焦點位置與$a,b$值.
②與雙曲線$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )$共漸近線的方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \lambda (\lambda \neq 0 )$；

鞏固練習

1(★) 若$k\in R$，則$k>-3$是方程$\dfrac { x ^ { 2 } } { k - 3 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k + 3 } = 1$表示雙曲線的(　　)
A．充分不必要條件 $\qquad \qquad$ B．必要不充分條件 $\qquad \qquad$ C．充要條件 $\qquad \qquad$ D．既不充分也不必要條件

2(★★) 已知雙曲線的一條漸近線方程為$y=2x$，且經過點$( 4 , 4 \sqrt { 3 } )$，則該雙曲線的標准方程為$\underline{\quad \quad}$.

3(★★) 在下列條件下求雙曲線標准方程．
(1) 經過兩點$( 3 , 0 ) , ( - 6 , - 3 )$；
(2) $a = 2 \sqrt { 5 }$，經過點$(2,-5)$，焦點在$y$軸上．

參考答案

$B$
$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1$
$(1)\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 \quad ( 2 ) \dfrac { y ^ { 2 } } { 20 } - \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } = 1$

【題型三】雙曲線的圖像及其性質

【典題1】已知雙曲線的方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$，則下列說法錯誤的是(　　)
A．雙曲線$C$的實軸長為$8$
B．雙曲線$C$的漸近線方程為$y = \dfrac { 3 } { 4 } x$
C．雙曲線$C$的焦點到漸近線的距離為$3$
D．雙曲線$C$上的點到焦點距離的最小值為$\dfrac{9}{4}$
【解析】雙曲線的方程為$\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$，所以$a = 4 , \quad b = 3$，
所以$c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 5$，
所以實軸長為$2 a = 2 \times 4 = 8$，即$A$正確；
漸近線方程為$y = \pm\dfrac { b } { a } x = \pm\dfrac { 3 } { 4 } x$，即正確；
焦點$( 5 , 0 )$到漸近線$y = \dfrac { 3 } { 4 } x$的距離為$\dfrac { | \dfrac { 3 } { 4 } \times 5 | } { \sqrt { ( \dfrac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } + 1 } } = 3$，即$C$正確；
對於選項$D$，設點$P ( x , y )$為雙曲線右支上的一點，點$F$為雙曲線的右焦點，
當$x=4$時，$PF$取最小值$1$，即$D$錯誤．
故選：$D$．
【點撥】
①焦點到漸近線的距離是$b$；
②雙曲線上的點到焦點的距離最小值是當點在頂點的位置時取到.

【典題2】設雙曲線$C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )$，的左、右焦點分別為$F _ { 1 } , F _ { 2 }$，離心率為$\sqrt3$，$P$是$C$上一點，且$\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$，若$\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$的面積為$4\sqrt3$，則$a=$$\underline{\quad \quad}$ .
【解析】

根據題意，幾何關系如圖所示．設$| P F _ { 2 } | = m , \quad | P F _ { 1 } | = n$，
若$\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$的面積為$4\sqrt3$，可得$\dfrac { 1 } { 2 } m n \sin 60 ^ { \circ } = 4 \sqrt { 3 }$，
由雙曲線定義，可得$n-m=2a$，
由余弦定理可得$4 c ^ { 2 } = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } - 2 m n \cos 60 ^ { \circ }$，
所以$4 c ^ { 2 } = 4 a ^ { 2 } + 2 m n - m n = 4 a ^ { 2 } + m n = 4 a ^ { 2 } + 16$，
離心率為$\sqrt3$．可得$\dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }$，代入上式，可得$a = \sqrt { 2 }$．
【點撥】
①遇到焦點三角形$\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$時，要注意雙曲線的定義與解三角形內容(正弦定理、余弦定理、面積公式等)的運用；
②在雙曲線中，焦點三角形$\triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$的面積為$S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac { \angle P } { 2 } }$，這屬於二級結論，本題用上題目求解就較簡潔些，$S = \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan \dfrac { \angle P } { 2 } } = 4 \sqrt { 3 } \Rightarrow \dfrac { b ^ { 2 } } { \tan 30 ^ { \circ } } = 4 \sqrt { 3 } \Rightarrow b = 2$，又$\dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }$，易得$a = \sqrt { 2 }$.

【典題3】已知雙曲線$C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )$的左、右焦點分別為$F _ { 1 } , F _ { 2 }$，過$F _ { 1 }$作斜率為$\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$的直線$l$與雙曲線$C$的左、右兩支分別交於$A,B$兩點，若$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |$，則雙曲線的離心率為$\underline{\quad \quad}$ .

【解析】 ${\color{Red}{方法一}}$設$A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$，
依題意可設直線方程為$y = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( x - c )$,
由$\begin{cases} { y = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( x - c ) } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{cases}$，
得$( 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) x ^ { 2 } - 2 c a ^ { 2 } x - a ^ { 2 } c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } = 0$,
則$x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 2 c a ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } }$，
因為$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |$，
由兩點距離公式可得$\sqrt { ( x _ { 1 } - c ) ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } } = \sqrt { ( x _ { 2 } - c ) ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 }}$,
又$y _ { 1 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( \dfrac { x _ { 1 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - 1 ) , y _ { 2 } ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( \dfrac { x _ { 2 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - 1 )$,
化簡可得$2 a ^ { 2 } = c ( x _ { 1 } + x _ { 2 } )$,
所以$2 a ^ { 2 } = c \cdot \dfrac { 2 c a ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \Rightarrow b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } \Rightarrow e = \sqrt { 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 }$
${\color{Red}{方法二}}$ 如圖，

取$AB$中點$M$，連結$F _ { 2 } M$，
因為$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |$，所以$F _ { 2 } M \perp A B$，
設$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } | =x$，
因為$| A F _ { 2 } | - | A F _ { 1 } | = 2 a$，所以$| A F _ { 1 } | = x - 2 a$，
又$| B F _ { 1 } | - | B F _ { 2 } | = 2 a$，所以$| B F _ { 1 } | = x + 2 a$，
所以$| A B | = | B F _ { 1 } | - | A F _ { 1 } | = 4 a$，所以$| A M | = | B M | = 2 a$所以$| F _ { 1 } M | = | B F _ { 1 } | - | B M | = x$，
由勾股定理，知$|F _ { 2 } M | = \sqrt { ( F _ { 1 }F _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( M F _ { 1 } ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( B F _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( B M ) ^ { 2 } }$，
即$| F _ { 2 } M | = \sqrt { 4 c ^ { 2 } - x ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } }$，解得$x ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 }$所以$| F _ { 2 } M | = \sqrt { 2 c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } } = \sqrt { 2 b ^ { 2 } }$，
所以$\tan \angle M F _ { 1 } F _ { 2 } = \dfrac { | F _ { 2 } M | } {| F _ { 1 } M | } = \dfrac { \sqrt { 2 b ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 a ^ { 2 } + 2 c ^ { 2 } } } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$，
即$\dfrac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 }$，化簡得$c ^ { 2 } = 3 a ^ { 2 }$，
離心率$e = \dfrac { c } { a } = \sqrt { 3 }$．
【點撥】
①方法一是由條件“過$F _ { 1 }$作斜率為$\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$的直線$l$”，想用代數法求解；代數法中$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } |$用兩點距離公式處理了；
②方法二是通過平幾的知識點求解，要多觀察圖形，多積累一些平幾的結論與常見已知條件的處理方法:(1)$| A F _ { 2 } | = | B F _ { 2 } | \Rightarrow$等腰三角形的三線合一；(2)斜率為$\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$，即$\tan\angle F _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$，則找直角三角形$\triangle MF_1F_2$，易得$\dfrac { | F _ { 2 } M| } { | F_ { 2 }M|} = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }$；
③比較兩種方法，在本題中計算量來看，方法二優於方法一；思考難度來看，方法一稍容易想到.

【典題4】已知$F _ { 1 } , F _ { 2 }$分別為雙曲線$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )$的左右焦點，且$| F _ { 1 } F _ { 2 } | = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a }$，點$P$為雙曲線右支上一點，$I$為$\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$的內心，過原點$O$作$PI$的平行線交$PF_1$於$K$，若$S _ {\triangle I P F _ { 1 } } = S _ { \triangle I P F_ { 2 } } + \lambda S _ {\triangle I F _ { 1 }F_2 }$成立，則下列結論正確的有(　　)
A．$\lambda= \dfrac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$ $\qquad \qquad$ B．$\lambda= \dfrac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }$ $\qquad \qquad$ C．點$I$的橫坐標為$a$ $\qquad \qquad$D．$PK=a$
【解析】

因為$| F _ { 1 } F _ { 2 } | = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a }$，所以$2 c = \dfrac { 2 b ^ { 2 } } { a } = \dfrac { 2 c ^ { 2 } - 2 a ^ { 2 } } { a }$，
整理得$e ^ { 2 } - e - 1 = 0$，
因為$e>1$，所以$e= \dfrac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 }$，．
設$\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }$的內切圓半徑為$r$，
由雙曲線的定義得$| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a , | F _ { 1 } F _ { 2 } | = 2 c$，
$S _ {\triangle I P F _ { 1 } } = \dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | r , S _ {\triangle IP F_ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 } | P F_2| r$，$S _ { \triangle I F_1F _2} = \dfrac { 1 } { 2 } \cdot 2 c \cdot r = c r$，
因為$S _ {\triangle I P F_ { 1 } } = S _ { \triangle I P F_ { 2 } } + \lambda S _ {\triangle I F _ { 1 }F_2 }$，
所以$\dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 1 } | \cdot r = \dfrac { 1 } { 2 } | P F _ { 2 } | \cdot r + \lambda c r$，
故$\lambda= \dfrac { | P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | } { 2 c } = \dfrac { a } { c } = \dfrac { 1 } { \dfrac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } } = \dfrac { \sqrt { 5 } - 1 } { 2 }$，
所以$A$正確，$B$錯誤．
設內切圓與$P F _ { 1 } , P F _ { 2 } , F _ { 1 } F _ { 2 }$的切點分別為$M,N,T$，
可得$| P M | = | P N | ， | F _ { 1 } M | = | F _ { 1 } T | ，| F _ { 2 } N | = | F _ { 2 } T |$，
由$| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = | F _ { 1 } M | - | F _ { 2 } N | = | F _ { 1 } T | - | F _ { 2 } T | = 2 a$，$| F _ { 1 } F _ { 2 } | = | F _ { 1 } T | + | F _ { 2 } T | = 2 c$，
可得$| F _ { 2 } T | = c - a$，可得$T$的坐標為$(a,0)$，
即點$I$的橫坐標為$a$ ，故$C$正確；
設$PI$延長線與$F _ { 1 } F _ { 2 }$交於$H$，可得$\dfrac { | P F _ { 2 } | } { | P F _ { 1 } | } = \dfrac { | F _ { 2 } H | } { | F _ { 1 }H | }$，
由$| P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a$，
可得$\dfrac { 2 a } { | P F _ { 1 } | } = \dfrac { 2 | O H | } { | F _ { 1 } H | }$，①
由三角形的相似的性質可得$\dfrac { | P K | } { | O H | } = \dfrac { | P F _ { 1 } | } { | H F _ { 1 } | }$，②
由①②可得$| P K | = a$．故$D$正確．
故選：$ACD$．
【點撥】
①得到$a,b,c$任意兩個量或三量的一條等式，均可得到關於離心率$e$的方程從而求出.
②注意內心的定義及其性質，內心是三角形的角平分線交點，則內心到三邊的距離相等！
③角平分線定理：如圖，在$\triangle A B C$中，$AD$是$\angle BAC$的角平分線，則$\dfrac { A B } { B D } = \dfrac { A C } { C D }$.

④多觀察圖形，充分利用平幾的知識點，得到各角之間或各線段之間的關系.常見的相似三角形的性質(注意$A$字型、$8$字型模型)、等腰三角形的三線合一、角平分線、圓的性質、正余弦定理等等.

鞏固練習

1(★) 若雙曲線$C：mx^2－y^2=2$的實軸長等於虛軸長的一半，則$m=$(　　)
A．$\dfrac{1}{4}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．$\dfrac{1}{2}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2$

2 (★★)[多選題] 已知雙曲線$C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的離心率為$\dfrac{2\sqrt3}{3}$，右頂點為$A$，以$A$為圓心，$b$為半徑作圓$A$，圓$A$與雙曲線$C$的一條漸近線交於$M、N$兩點，則有 (　　)
A．漸近線方程為$y=±\sqrt3 x$ $\qquad$B．漸近線方程為$y=±\dfrac{\sqrt3}{3} x$ $\qquad$C．$∠MAN=60^°$ $\qquad$D．$∠MAN=120^°$

3(★★)[多選題] 已知$F_1,F_2$分別是雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點，$A$為左頂點，$P$為雙曲線右支上一點，若$|PF_1 |=2|PF_2 |$且$△PF_1 F_2$的最小內角為$30^°$，則(　　)
A．雙曲線的離心率$\sqrt3$
B．雙曲線的漸近線方程為$y=±\sqrt2x$
C．$∠PAF_2=45^°$
D．直線$x+2y－2=0$與雙曲線有兩個公共點

4(★★) 已知點$F_1 (－3,0)，F_2 (3,0)$分別是雙曲線$C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點，$M$是$C$右支上的一點，$MF_1$與$y$軸交於點$P$，$△MPF_2$的內切圓在邊$PF_2$上的切點為$Q$，若$|PQ|=2$，則$C$的離心率為$\underline{\quad \quad}$.

5(★★★)已知雙曲線$C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點分別為$F_1，F_2$，過$F_1$的直線與$C$的左、右支分別交於$P、Q$兩點，$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{F_1 P} ，\overrightarrow{F_1 Q} \cdot \overrightarrow{F_2 Q} =0$，則$C$的漸近線方程為$\underline{\quad \quad}$ .

6(★★★) 如圖所示，已知雙曲線$C：\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦點為$F$，雙曲線$C$的右支上一點$A$，它關於原點$O$的對稱點為$B$，滿足$∠AFB=120^°$，且$|BF|=2|AF|$，則雙曲線$C$的離心率是$\underline{\quad \quad}$ .

7(★★★)已知雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點分別$F_1，F_2$，過$F_2$的直線交雙曲線右支於$A，B$兩點．$∠F_1 AF_2$的平分線交$BF_1$於$D$，若$\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AF_1} +\overrightarrow{AF_2}$，則雙曲線的離心率為$\underline{\quad \quad}$.

8(★★★) 已知雙曲線$\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$的左、右焦點分別為$F_1,F_2$，$O$為雙曲線的中心，$P$是雙曲線右支上的點，$△PF_1 F_2$的內切圓的圓心為$I$，且圓$I$與$x$軸相切於點$A$，過$F_2$作直線$PI$的垂線，垂足為$B$，則$\dfrac { | OB | } { | O A | } =$ $\underline{\quad \quad}$.

參考答案

$C$
$BC$
$ABD$
$\dfrac {3}{2}$
$y=±2x$
$\sqrt3$
$\sqrt3$
$1$

【題型四】最值問題

情況1 求離心率范圍

【典題1】已知雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$在兩條漸近線所構成的角中，設以實軸為角平分線的角為$\theta$，若$\theta$的取值范圍是$[ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]$，則該雙曲線離心率的取值范圍是(　　)
A．$( 1 , \sqrt { 2 } ]$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$[ \sqrt { 2 } , 2 ]$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$[ \dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } , \sqrt { 2 } ]$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$[ 2 , + \infty )$
【解析】根據題意，易得雙曲線的實軸長為$2a$，虛軸長為$2b$；
由雙曲線的意義，可得$e ^ { 2 } = \dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }$，
以實軸為角平分線的角為$\theta$，若$\theta$的取值范圍是$[ \dfrac { \pi } { 2 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]$，
可得$1 \leq \dfrac { b } { a } \leq \sqrt { 3 }$；
進而可得：$e ^ { 2 } = 1 + \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } }\in [ 2 , 4 ]$,所以$e \in [ \sqrt { 2 } , 2 ]$．故選：$B$．
【點撥】
求離心率的范圍的一般思路：求出$a,b,c$任意兩個量比值的范圍得到關於離心率$e$的不等式，從而求出$e$的范圍,同時也要注意橢圓中$0 \lt e \lt 1$,雙曲線中$e>1$.

情況2 幾何法求范圍

【典題1】已知雙曲線$x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1$的右焦點為$F$，右頂點$A$，$P$為漸近線上一點，則$| P A | + | P F |$的最小值為(　　)
A．$2\sqrt3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $\sqrt3$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$D．$\sqrt5$
【解析】

如圖：雙曲線$x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1$的右焦點為$F ( \sqrt { 2 } , 0 )$，
右頂點$A(1,0)$，$P$為漸近線$y=x$上一點，
則$| P A | + | P F |$的最小值就是$A$關於$y=x$的對稱點$A ^ { \prime }$到的距離，
所以$A ^ { \prime }(0,1)$，
則$| P A | + | P F |$的最小值為：$\sqrt { ( \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$．
故選：$B$．
【點撥】這屬於“將軍飲馬問題”！

【典題2】 點$F_2$是雙曲線$C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$的右焦點，動點$A$在雙曲線左支上，直線$l _ { 1 } : t x - y + t - 2 = 0$與直線$l _ { 2 } : x + t y + 2 t - 1 = 0$的交點為$B$，則$| A B | + | A F _ { 2 } |$的最小值為(　　)
A．$8$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B． $5 \sqrt { 3 }$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$9$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$6\sqrt { 3 }$
【解析】聯立直線$l _ { 1 } , l _ { 2 }$的方程$\begin{cases} { t x - y + t - 2 = 0 } \\ { x + t y + 2 t - 1 = 0 } \end{cases}$，
可得$\begin{cases} { x = - \dfrac { t ^ { 2 } - 1 } { t ^ { 2 } + 1 } } \\ { y + 2 = \dfrac { 2 t } { t + 1 } } \end{cases}$，消參數$t$可得$x ^ { 2 } + ( y + 2 ) ^ { 2 } = 1$，
所以可得交點$B$的軌跡為圓心在$(0,-2)$，半徑為$1$的圓，

由雙曲線的方程可得$a = 3 , b = \sqrt { 3 }$，焦點$F ( - 2 \sqrt { 3 } , 0 )$，
可得$| A F _ { 2 } | = | A F _ { 1 } | + 2 a = | A F _ { 1 } | + 6$，
所以$| A B | + | A F _ { 2 } | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6$，
當$A , F _ { 1 } , B$三點共線時，$| A B | + | A F _ { 2 } |$最小，
所以$| A B | + | A F_2 | = | A B | + | A F _ { 1 } | + 6 \geq | B F _ { 1 } | - 1 + 6 = \sqrt { ( - 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } + 5 = 9$，
當過$F_1$與圓心的直線與圓的交點$B$且在$F_1$和圓心之間時最小．
所以$| A B | + | A F _ { 2 } |$的最小值為$9$，故選：$C$．
【點撥】這屬於“三點共線取最值”模型,在圓錐曲線求最值問題用幾何法需要明確動點的運動規律，平時掌握常見模型，多觀察圖象.

情況3 函數法求范圍

【典題1】[多選題]已知為雙曲線$C:\dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } - y ^ { 2 } = 1$上的動點，過$P$作兩漸近線的垂線，垂足分別為$A,B$，記線段$PA,PB$的長分別為$m，n$，則(　　)
A．若$PA,PB$的斜率分別為$k _ { 1 } , k _ { 2 }$，則$ k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3$
B．$m n = \dfrac { 1 } { 2 }$
C．$4m+n$的最小值為 $\sqrt3$
D．$AB$的最小值為$\dfrac { 1 } { 2 }$
【解析】

如圖所示，設$P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$，則$\dfrac { x_0 ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } = 1$．
由題設條件知，雙曲線的兩漸近線：
$l _ { 1 } : y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x , l _ { 2 } : y = - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$．
設直線$PA,PB$的斜率分別為$k _ { 1 } , k _ { 2 }$，
則$k _ { 1 } = - \sqrt { 3 } , \quad k _ { 2 } = \sqrt { 3 }$，
所以$k _ { 1 } \cdot k _ { 2 } = - 3$ ，故選項$A$正確；
由點線距離公式知：$| P A | = m = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } - 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } } , | P B | = n = \dfrac { | \sqrt { 3 } x _ { 0 } + 3 y _ { 0 } | } { 2 \sqrt { 3 } }$，
所以$m n = \dfrac { | 3 x _ { 0 } ^ { 2 } - 9 y _ { 0 } ^ { 2 } | } { 12 } = \dfrac { 9 } { 12 } \times | \dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 } - y _ { 0 } ^ { 2 } | = \dfrac { 3 } { 4 }$ ，
故選項$B$錯誤；
因為$4 m + n \geq 4 \sqrt { m m } = 4 \times \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } = 2 \sqrt { 3 }$，所以$C$不正確；
由漸近線的斜率可知$\angle AOx = 30 ^ { \circ }$，所以$\angle AOB =60 ^ { \circ }$,
四邊形$AOBP$中易得$\angle APB = 120 ^ { \circ }$，
所以$| A B | = \sqrt { P A ^ { 2 } + P B ^ { 2 } - 2 P A \cdot P B \cdot \cos \angle A P B }=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n } \geq \sqrt { 3 m n } = \dfrac { 3 } { 2 }$，
(當$m=n$，即點$P$在雙曲線的頂點位置時)
所以$D$正確，
故選：$AD$．
【點撥】
①$PA,PB$兩條線段長度由點$P$確定，根據題意用點到直線的距離公式表示出來；
②求$4m+n$與$AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }$時，用基本不等式$a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )$求最值.
③思考:如何處理含一個變量與兩個變量的式子最值問題呢？
(1) 含一個變量的，比如求$\dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )$的最小值，想到構造$f ( m ) = \dfrac { 1 } { m } - \dfrac { 4 } { 4 + m } ( m \geq 1 )$，再用函數最值方法求解；
(2) 含兩個變量，比如本題中$AB=\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }$，在高中階段常用基本不等式處理，那轉化為只含一個變量？思路有兩條，一是用$n$表示$m$消掉一個變量，但本題$m,n$沒明顯的關系；二是用另外一個變量表示,這是可以的，用雙曲線的參數方程設點$P ( \dfrac { \sqrt { 3 } } { \cos \alpha } , \tan \alpha )$，就可以用$\alpha$表示$m,n$，從而$\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } + m n }$變成一個變量表示$\alpha$，但計算量較大.

【典題2】已知雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一條漸近線方程為$y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x$，$P$為雙曲線上一個動點，$F _ { 1 } , F _ { 2 }$為其左，右焦點，$\overrightarrow{PF_1}\cdot \overrightarrow{PF_2}$的最小值為$-3$，則此雙曲線的焦距為( )
A．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$4$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ C．$2\sqrt5$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$2\sqrt7$
【解析】因為雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一條漸近線方程為$y = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } x$，所以$\dfrac { b } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }$，
不妨設$a = 2 k , \quad b = \sqrt { 3 } k , \quad k \gt 0$，
所以$c = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \sqrt { 7 k }$，
所以$F _ { 1 } ( - \sqrt { 7 } k , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 7 } k , 0 )$，
設$P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$，且$x _ { 0 } \leq - 2 k$或$x _ { 0 } \geq 2 k$，即$x _ { 0 } ^ { 2 } \geq 4 k ^ { 2 }$，
因為$\dfrac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$，所以$y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 3 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 3 k ^ { 2 }$，
所以$\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } } = ( - \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } ) ( \sqrt { 7 } k - x _ { 0 } , - y _ { 0 } )$
$= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2$
$\geq 7 k ^ { 2 } - 10 k ^ { 2 } = - 3 k ^ { 2 } = - 3$，
解得$k = 1 , k = - 1$(舍去)，
所以$c = \sqrt { 7 }$，所以$2 c = 2\sqrt { 7 }$，
故選：$D$．
【點撥】
①本題處理數量積的方法是坐標法，設點$P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )$，得$\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }$；
②做到$\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= x _ { 0 } ^ { 2 } - 7 k ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 }$，其中$k$為參數，$x _ { 0 } , y _ { 0 }$為變量，而點$P$在雙曲線上，滿足$\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$，故可消元得到$\overrightarrow{PF _ { 1 }} \cdot \overrightarrow{P F _ { 2 } }= \dfrac { 7 } { 4 } x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 0k^2$，此時用函數方法求最小值，要注意自變量$x_0$的取值范圍;
③利用函數法求最值，一定要謹記“優先考慮定義域”！

【典題3】如圖，在$\triangle ABC$中，已知$\angle B A C = 120 ^ { \circ }$，其內切圓與$AC$邊相切於點$D$，延長到$BA$，使$BE=BC$，連接$CE$，設以$E,C$為焦點且經過點$A$的橢圓的離心率為$e_1$，以$E,C$為焦點且經過點$A$的雙曲線的離心率為$e_2$，則當$\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }$取最大值時，$\dfrac { A D } { D C }$的值為$\underline{\quad \quad}$．

【解析】

如圖，設$M,G$分別是$BC,BE$與圓的切點．
由圓的切線性質，
可設$A G = A D = 1 , \quad C D = C M = G E = m , \quad ( m \gt 1 )$，
在$\triangle AEC$中，
$C E ^ { 2 } = C A ^ { 2 } + A E ^ { 2 } - 2 C A \cdot E A \cos 60 ^ { \circ } =m ^ { 2 } + 3$
所以$C E = \sqrt { m ^ { 2 } + 3 }$，
所以$e _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 m }$，$e _ { 2 } = \dfrac { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } { 2 }$，
則$\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e _ { 2 } } = \dfrac { 4 m + 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 3 } } = \sqrt { \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } }$;
令$f ( m ) = \dfrac { 16 m ^ { 2 } + 16 m + 4 } { m ^ { 2 } + 3 } = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 }$,
設$t = 4 m - 11$，則$m = \dfrac { t + 11 } { 4 }$,
所以$\dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } = \dfrac { t } { \dfrac { t } { 16 } + 3 } = \dfrac { 16 t } { t ^ { 2 } + 22 t + 169 } = \dfrac { 16 } { t + \dfrac { 169 } { t } + 22 } \leq \dfrac { 16 } { 26 + 22 } = \dfrac { 1 } { 3 }$
當$t=13$,即$m=6>1$時取到等號，
所以$f ( m ) = 16 + 4 \cdot \dfrac { 4 m - 11 } { m ^ { 2 } + 3 } \leq \dfrac { 52 } { 3 }$，
所以當$m=6$時，$\dfrac { 2 } { e _ { 1 } } + \dfrac { 1 } { e_ 2 }$取最大值$\sqrt { \dfrac { 52 } { 3 } }$，此時$\dfrac { A D } { D C } = \dfrac { 1 } { 6 }$,
【點撥】
①本題中沒給出任一線段長度，設$AG=1$，可減少計算量；
②本題求最值采取函數法，這是$\dfrac { a _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }$型的函數最值問題,此類題目常考.

鞏固練習

1 (★★) 已知$F_1 、F_2$是雙曲線$\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦點，以$F_2$為圓心，$a$為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交於$A，B$兩點，若$|AB|>\dfrac {|F_1 F_2 |}{2}$，則雙曲線的離心率的取值范圍是$\underline{\quad \quad}$ ．

2(★★) 設雙曲線$\dfrac{x^2}{16} -\dfrac{y^2}{12}=1$的左、右焦點分別為$F_1，F_2$，過$F_1$的直線$l$交雙曲線左支於$A，B$兩點，則$|AF_2 |+|BF_2 |$的最小值為$\underline{\quad \quad}$．

3(★★) 已知$F_1，F_2$分別是雙曲線$C:\dfrac{x^2}{4} -\dfrac{y^2}{3}=1$的左，右焦點，動點$A$在雙曲線的左支上，點$B$為圓$E：x^2+(y+3)^2=1$上一動點，則$|AB|+|AF_2 |$的最小值為$\underline{\quad \quad}$．

4(★★★)設雙曲線$C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左、右焦點分別為$F_1，F_2$，$|F_1 F_2 |=2c$，過$F_2$作$x$軸的垂線，與雙曲線在一第象限的交點為$A$，點$Q$坐標為$(c,\dfrac {3a}{2})$且滿足$|F_2 Q|>|F_2 A|$，若在雙曲線$C$的右支上存在點$P$使得$|PF_1 |+|PQ|<\dfrac{7}{6}|F_1 F_2|$成立，則雙曲線$C$的離心率的取值范圍是$\underline{\quad \quad}$．

5(★★★) 雙曲線$C：\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$的左，右頂點分別是$A_1，A_2$，$P$是$C$上任意一點，直線$PA_1，PA_2$分別與直線$l：x=1$交於$M，N$，則$|MN|$的最小值是$\underline{\quad \quad}$．

6(★★★) 已知雙曲線$C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦點為$F_1 (－2,0),F_2 (2,0)$，點$P$是雙曲線上任意一點，若$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2}$的最小值是$－2$，則雙曲線$C$的離心率為$\underline{\quad \quad}$．

7(★★★) 已知雙曲線$C：\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$，$F_1，F_2$分別為雙曲線的左右焦點，$P(x_0,y_0)$為雙曲線$C$上一點，且位於第一象限，若$△PF_1 F_2$為銳角三角形，則$y_0$的取值范圍為$\underline{\quad \quad}$．

8(★★★) 設雙曲線$C:\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦點為$F$，雙曲線$C$的一條漸近線為$l$，以$F$為圓心的圓與$l$交於點$M，N$兩點，$MF⊥NF$，$O$為坐標原點，$\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{ON}(3\leq\lambda\leq7)$，則雙曲線$C$的離心率的取值范圍是　$\underline{\quad \quad}$．

參考答案

$(1,\dfrac{2\sqrt10}{5})$
$22$
$7$
$(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{10}}{2})$
$\sqrt3$
$\sqrt2$
$(\dfrac{\sqrt5}{5},\dfrac{1}{2})$
$[\dfrac{\sqrt5}{2},\dfrac{5}{4}]$

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3.2 雙曲線

模塊導圖

知識剖析

定義

幾何性質

一些常用結論

經典例題

【題型一】雙曲線的定義

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參考答案

【題型二】 雙曲線方程

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參考答案

【題型三】 雙曲線的圖像及其性質

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參考答案

【題型四】最值問題

情況1 求離心率范圍

情況2 幾何法求范圍

情況3 函數法求范圍

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參考答案

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【題型二】雙曲線方程

【題型三】雙曲線的圖像及其性質