三維空間繞任意軸旋轉矩陣的推導

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推導如下

設 $v$ 是三維空間中任意向量，現求 $v$ 繞 $n$ 順時針旋轉 $\theta$ 所得到的向量 $v^\prime$ ，其中 $n$ 是單位向量，

$n = \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{bmatrix}$ ， $n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 = 1$ 。

首先求 $v$ 在 $n$ 上的投影，記為 $v_\parallel$ ， $v_\parallel = (v^Tn)n$ 。

記 $v_\perp$ 為 $v$ 垂直於 $n$ 的分量， $v_\perp = v - v_\parallel = v - (v^Tn)n$ 。

記 $w$ 為 $n$ 和 $v_\perp$ 的叉積， $w = n \times v_\perp$ 。根據叉乘的定義， $w$ 垂直於 $n$ 和 $v_\perp$ 固定的平面，其方向服從右手法則，大小為 $n$ 和 $v_\perp$ 圍成的平行四邊形的面積。又因為 $n$ 和 $v_\perp$ 垂直，且 $n$ 為單位向量，所以 $w$ 的大小和 $v_\perp$ 一樣。

記 $v_\perp^\prime$ 為 $v_\perp$ 繞 $n$ 旋轉 $\theta$ 得到的向量，

$\begin{align} v_\perp^\prime &= v_\perp \cos \theta + w\sin \theta \\ &= \left[ v - \left( v^Tn \right)n \right] \cos \theta + \left( n \times v \right) \sin \theta \end{align}$
下面求得 $v^\prime$ ：

$\begin{align} v^\prime &= v_\perp^\prime + v_\parallel \\ &= \left[ v - \left( v^Tn \right)n \right] \cos \theta + \left( n \times v \right) \sin \theta + (v^Tn)n \end{align}$

令 $v = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，帶入上式：

$\begin{align} v^\prime &= \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} - \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \left( \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \right) \sin \theta + \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &=\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} - n_x \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \begin{bmatrix} 0 \\ n_z \\ -n_y \\ \end{bmatrix} \sin \theta + n_x \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 - n_x^2 \\ -n_x n_y \\ -n_x n_z \\ \end{bmatrix} \cos \theta + \begin{bmatrix} 0 \\ n_z \\ -n_y \\ \end{bmatrix} \sin \theta + \begin{bmatrix} n_x^2 \\ n_x n_y \\ n_x n_z \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \cos \theta - n_x^2 \cos \theta + n_x^2 \\ -n_xn_y \cos \theta + n_z \sin \theta + n_xn_y \\ -n_xn_z \cos \theta - n_y \sin \theta + n_xn_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} n_x^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta \\ n_xn_y(1 - \cos \theta) + n_z \sin \theta \\ n_xn_z(1 - \cos \theta) - n_y \sin \theta \end{bmatrix} \end{align}$

同理，令 $v = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，

$\begin{align} v^\prime &= \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{bmatrix} - \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \left( \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} \right) \sin \theta + \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &=\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} - n_y\begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \begin{bmatrix} -n_z \\ 0 \\ n_x \\ \end{bmatrix} \sin \theta + n_y \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - n_x n_y \\ 1 - n_y^2 \\ -n_y n_z \\ \end{bmatrix} \cos \theta + \begin{bmatrix} -n_z\\ 0 \\ n_x \\ \end{bmatrix} \sin \theta + \begin{bmatrix} n_x n_y \\ n_y^2 \\ n_y n_z \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -n_x n_y \cos \theta -n_z \sin \theta + n_x n_y \\ \cos \theta -n_y^2 \cos \theta + n_y^2 \\ -n_yn_z \cos \theta + n_x \sin \theta + n_yn_z \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} n_x n_y ( 1 - \cos \theta ) -n_z \sin \theta \\ n_y^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta \\ n_yn_z(1 - \cos \theta) + n_x \sin \theta \end{bmatrix} \end{align}$

令 $v = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，

$\begin{align} v^\prime &= \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} - \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \left( \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \right) \sin \theta + \left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &=\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} - n_z\begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \right) \cos \theta + \begin{bmatrix} n_y \\ -n_x \\ 0 \\ \end{bmatrix} \sin \theta + n_z \begin{bmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} - n_x n_z \\ -n_y n_z \\ 1 - n_z^2 \\ \end{bmatrix} \cos \theta + \begin{bmatrix} n_y \\ -n_x \\ 0 \\ \end{bmatrix} \sin \theta + \begin{bmatrix} n_x n_z \\ n_y n_z \\ n_z^2 \\ \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -n_x n_z \cos \theta +n_y \sin \theta + n_x n_z \\ -n_yn_z \cos \theta - n_x \sin \theta + n_yn_z \\ (1 - n_z^2) \cos \theta + n_z^2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} n_x n_z ( 1 - \cos \theta ) + n_y \sin \theta \\ n_yn_z(1 - \cos \theta) - n_x \sin \theta \\ n_z^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta \end{bmatrix} \end{align}$

綜上得到變換矩陣：

$T = \begin{bmatrix} n_x^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta & n_x n_y ( 1 - \cos \theta ) -n_z \sin \theta & n_x n_z ( 1 - \cos \theta ) + n_y \sin \theta \\ n_xn_y(1 - \cos \theta) + n_z \sin \theta & n_y^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta & n_yn_z(1 - \cos \theta) - n_x \sin \theta \\ n_xn_z(1 - \cos \theta) - n_y \sin \theta & n_yn_z(1 - \cos \theta) + n_x \sin \theta & n_z^2(1 - \cos \theta) + \cos \theta\\ \end{bmatrix}$

Reference

三維空間任意一點繞任意軸線旋轉
 三維空間繞任意軸旋轉矩陣的推導

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