力學量隨時間的演化


力學量隨時間的演化

守恆量

引言

  • 量子光學中力學量隨時間演化的問題與經典力學有所不同。
  • 經典力學中,處於一定狀態的體系的每一個力學量A,作為時間的函數,在每一時刻都具有一個確定值。量子力學中,處於量子態\(\psi\)下的體系,在每一時刻,不是所有力學量都具有確定值,一般來說,只具有確定的概率分布和平均值。
  • 守恆量即與哈密頓量對易

力學量的平均值如何隨時間改變

證明力學量在任何態\(\psi(t)\)之下的平均值不隨時間改變

  • 力學量A的平均值為\(\overline A (t) = (\psi (t),\widehat A\psi (t))\) (1)

  • 所以

    $\eqalign{
    & {d \over {dt}}\overline A (t) = \left( {{{\partial \psi } \over {\partial t}},\widehat A\psi } \right) + \left( {\psi ,\widehat A{{\partial \psi } \over {\partial t}}} \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
    & = \left( {{{\widehat H\psi } \over {i{\rm{ℏ}}}},\widehat A\psi } \right) + \left( {\psi ,\widehat A{{\widehat H\psi } \over {i{\rm{ℏ}}}}} \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
    & = {1 \over {i{\rm{ℏ}}}}\left( {\psi ,\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]\psi } \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
    & = {1 \over {iℏ}}\overline {\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]} + \overline {{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}} \cr} $(2)

    • 第二個等號:帶入薛定諤方程
  • \(\hat A\)不顯含時間t(以后如不特別聲明,都是指這種力學量),即\({{\partial \widehat A} \over {\partial t}} = 0\),則

    ${d \over {dt}}\overline A (t) = {1 \over {iℏ}}\overline {\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]} $(3)

  • 因此,若\({\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]}=0\)(4)

  • \({d \over {dt}}\overline {\widehat A} = 0\)(5)

    • 即這種力學量在任何態\(\psi(t)\)之下的平均值都不隨時間改變。

證明在任意態\(\psi(t)\)\(\hat A\)的概率分布不隨時間改變

  • 考慮到\({\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]}=0\),我們可以選擇包括\(\hat H\)\(\hat A\)在內的一組力學量完全集,其共同本征態記為\(\psi_k\)(k是一組完備的量子數的簡記),即

    \(\widehat H{\psi _k} = {E_k}{\psi _k}\)\(\widehat A{\psi _k} = {A_k}{\psi _k}\)(6)

  • 體系的任何一態\(\psi(t)\)均可用\(\psi_k\)展開

    \(\psi (t) = \sum\limits_k {{a_k}(t){\psi _k}}\)\({a_k}(t) = ({\psi _k},\psi (t))\)(7)

  • \(\psi(t)\)態下,在t時刻測量\(\hat A\)\(A_k\)得概率為\({\left| {{a_k}(t)} \right|^2}\)

  • $\eqalign{
    & {d \over {dt}}{\left| {{a_k}(t)} \right|^2} = \left( {{{da_k^*} \over {dt}}} \right){a_k} + C.C. \cr
    & = ({{\partial \psi (t)} \over {\partial {\rm{t}}}},{\psi _k})({\psi _k},\psi (t)) + C.C. \cr
    & = - {1 \over {iℏ}}(\psi (t),H{\psi _k})({\psi _k},\psi (t)) + C.C. \cr
    & = - {{{E_k}} \over {iℏ}}{\left| {({\psi _k},\psi (t))} \right|^2} + C.C. = 0 \cr} $(8)

    • C.C.表示復共軛
  • 總結

    對於Hamilton量H不含時得量子體系,如果力學量A與H對易,則無論體系處於什么狀態(定態或非定態),A得平均值及其測值的概率分布均不隨時間改變。

  • 所以,把A稱為量子體系的一個守恆量

量子力學和經典力學中守恆量概念的區別

  • 實質:不確定度關系的反映

  • (a).與經典力學守恆量不同,量子體系的守恆量並不一定取確定值,即體系的狀態並不一定就是某個守恆量的本征態。若初始時刻體系處於守恆量A的本征態,則體系將保持在該本征態。由於守恆量具有此特點,它的量子數稱為好量子數。反之,若初始時刻體系並處於守恆量A的本征態,則以后的狀態也並不是A的本征態,但A的平均值和概率分布不隨時間變化

  • (b).量子體系的各守恆量(>1)並不一定都可以同時取確定值。

    守恆量定態的區別:

    ​ 定態是體系的一種特殊的狀態,即能量本征態,而守恆量則是體系的一種特殊的力學量,它與體系的Hamilton是對易。在定態下,一切力學量(不顯含t,但不管是否守恆量)的平均值和測值概率分布都不隨時間改變,而守恆量則在一切狀態下(不管是否定態)的平均值和概率分布都不隨時間改變。

    也就是說,在定態下,所有力學量的平均值和測值概率分布否不隨時間變化

能量簡並與守恆量的關系

引入

  • 守恆量在能量本征值問題中的應用,要害是涉及能級簡並,其中包括:
    • (a).能級是否簡並?
    • (b).在能級簡並的情況下,如何標記各簡並態?

Q:為什么要找守恆量?

A:因為守恆量和哈密頓量是對易的,對易的結果用第三章的知識就是,哈密頓量和力學量之間可以有一個共同的本征態(CSCCO,守恆量的完全集它可以用一個共同的本征態,在能級簡並的情況下,可以用守恆量對簡並的能級進行簡單的分類)(哈密頓量的本征態就是能量的本征態)

定理和推論

  • 定理設體系由兩個彼此不對易的守恆量F和G,即[F,H]=0,[G,H]=0,但[F,G]$\ne$0,則體系能級一般是簡並的。

  • 推論:如果體系有一個守恆量F,而體系的某條能級不簡並(即對應於某能量本征值E,只有一個本征態\(\psi_E\)),則\(\psi_E\)必為F的本征態。

  • 例如:

    一維諧振子勢\(V(x) = {1 \over 2}m{\omega ^2}{x^2}\)中的粒子的能級是不簡並的,而空間反射P為守恆量,[P,H]=0,所以能量本征態必為P的本征態,即有確定宇稱。

  • 在一般情況下,當能級出現簡並時,可以根據對體系對稱性的分析,找出其守恆量(根據上面定理可得簡並一定有彼此不對易的守恆量
  • 要求能量本征態同時又包含H在內的對易守恆量完全集共同本征態,就可把能級的各簡並態標記清楚(守恆量和哈密頓量構成完全集,完全集以能量本征函數為本征態,然后就可以用守恆量對能量的本征函數進行分類表征)

位力(virial)定理

  • 當體系處於定態(能量的本征態,哈密頓量的本征態)下,關於平均值隨時間的變化,有一個有用的定理,即位力(virial)定理

  • 設粒子處於勢場V(r)中,Hamilton量為

    \(H = {p^2}/2m + V(r)\)(9)

  • 考慮\(r \cdot p\)的平均值隨時間的變化,按式(3),有

    $\eqalign{
    & iℏ{d \over {dt}}\overline {r \cdot p} = \overline {[r \cdot p,H]} \cr
    & = {1 \over {2m}}\overline {[r \cdot p,{p^2}]} + \overline {[r \cdot p,V(r)]} \cr} $

    r和動量是不對易的 r和勢能是對易的,動量和勢能是不對易的

​ 第二章 第三章

​ $ = iℏ({1 \over m}\overline {{p^2}} - \overline {r \cdot \nabla V} )$

  • 對於定態,\({d \over {dt}}\overline {r \cdot p} = 0\),所以

    ${1 \over m}\overline {{p^2}} = \overline {r \cdot \nabla V} $

    $2\overline T = \overline {r \cdot \nabla V} $(11)

    式中\(T = {{{p^2}} \over {2m}}\)是粒子動能,上式即位力定理


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