力学量随时间的演化
守恒量
引言
- 量子光学中力学量随时间演化的问题与经典力学有所不同。
- 经典力学中，处于一定状态的体系的每一个力学量A，作为时间的函数，在每一时刻都具有一个确定值。量子力学中，处于量子态\(\psi\)下的体系，在每一时刻，不是所有力学量都具有确定值，一般来说，只具有确定的概率分布和平均值。
- 守恒量即与哈密顿量对易
力学量的平均值如何随时间改变
证明力学量在任何态\(\psi(t)\)之下的平均值不随时间改变
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力学量A的平均值为\(\overline A (t) = (\psi (t),\widehat A\psi (t))\) （1）
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所以
$\eqalign{
& {d \over {dt}}\overline A (t) = \left( {{{\partial \psi } \over {\partial t}},\widehat A\psi } \right) + \left( {\psi ,\widehat A{{\partial \psi } \over {\partial t}}} \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
& = \left( {{{\widehat H\psi } \over {i{\rm{ℏ}}}},\widehat A\psi } \right) + \left( {\psi ,\widehat A{{\widehat H\psi } \over {i{\rm{ℏ}}}}} \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
& = {1 \over {i{\rm{ℏ}}}}\left( {\psi ,\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]\psi } \right) + \left( {\psi ,{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}\psi } \right) \cr
& = {1 \over {iℏ}}\overline {\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]} + \overline {{{\partial \widehat A} \over {\partial t}}} \cr} $（2）- 第二个等号：带入薛定谔方程
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如\(\hat A\)不显含时间t（以后如不特别声明，都是指这种力学量），即\({{\partial \widehat A} \over {\partial t}} = 0\)，则
${d \over {dt}}\overline A (t) = {1 \over {iℏ}}\overline {\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]} $（3）
-
因此，若\({\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]}=0\)（4）
-
则 \({d \over {dt}}\overline {\widehat A} = 0\)（5）
- 即这种力学量在任何态\(\psi(t)\)之下的平均值都不随时间改变。
证明在任意态\(\psi(t)\)下\(\hat A\)的概率分布不随时间改变
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考虑到\({\left[ {\widehat A,\widehat H} \right]}=0\)，我们可以选择包括\(\hat H\)和\(\hat A\)在内的一组力学量完全集，其共同本征态记为\(\psi_k\)(k是一组完备的量子数的简记)，即
\(\widehat H{\psi _k} = {E_k}{\psi _k}\)，\(\widehat A{\psi _k} = {A_k}{\psi _k}\)(6)
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体系的任何一态\(\psi(t)\)均可用\(\psi_k\)展开
\(\psi (t) = \sum\limits_k {{a_k}(t){\psi _k}}\)，\({a_k}(t) = ({\psi _k},\psi (t))\)（7）
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在\(\psi(t)\)态下，在t时刻测量\(\hat A\)得\(A_k\)得概率为\({\left| {{a_k}(t)} \right|^2}\)
-
而
$\eqalign{
& {d \over {dt}}{\left| {{a_k}(t)} \right|^2} = \left( {{{da_k^*} \over {dt}}} \right){a_k} + C.C. \cr
& = ({{\partial \psi (t)} \over {\partial {\rm{t}}}},{\psi _k})({\psi _k},\psi (t)) + C.C. \cr
& = - {1 \over {iℏ}}(\psi (t),H{\psi _k})({\psi _k},\psi (t)) + C.C. \cr
& = - {{{E_k}} \over {iℏ}}{\left| {({\psi _k},\psi (t))} \right|^2} + C.C. = 0 \cr} $（8）- C.C.表示复共轭
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总结
对于Hamilton量H不含时得量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A得平均值及其测值的概率分布均不随时间改变。
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所以，把A称为量子体系的一个守恒量
量子力学和经典力学中守恒量概念的区别
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实质：不确定度关系的反映
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（a）.与经典力学守恒量不同，量子体系的守恒量并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系将保持在该本征态。由于守恒量具有此特点，它的量子数称为好量子数。反之，若初始时刻体系并处于守恒量A的本征态，则以后的状态也并不是A的本征态，但A的平均值和概率分布不随时间变化
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（b）.量子体系的各守恒量（>1）并不一定都可以同时取确定值。
守恒量和定态的区别:
定态是体系的一种特殊的状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，它与体系的Hamilton是对易。在定态下，一切力学量（不显含t,但不管是否守恒量）的平均值和测值概率分布都不随时间改变，而守恒量则在一切状态下（不管是否定态）的平均值和概率分布都不随时间改变。
也就是说，在定态下，所有力学量的平均值和测值概率分布否不随时间变化
能量简并与守恒量的关系
引入
- 守恒量在能量本征值问题中的应用，要害是涉及能级简并，其中包括：
- （a）.能级是否简并？
- （b）.在能级简并的情况下，如何标记各简并态？
Q：为什么要找守恒量？
A：因为守恒量和哈密顿量是对易的，对易的结果用第三章的知识就是，哈密顿量和力学量之间可以有一个共同的本征态（CSCCO，守恒量的完全集它可以用一个共同的本征态，在能级简并的情况下，可以用守恒量对简并的能级进行简单的分类）（哈密顿量的本征态就是能量的本征态）
定理和推论
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定理：设体系由两个彼此不对易的守恒量F和G，即[F,H]=0,[G,H]=0,但[F,G]$\ne$0,则体系能级一般是简并的。
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推论：如果体系有一个守恒量F，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E，只有一个本征态\(\psi_E\)），则\(\psi_E\)必为F的本征态。
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例如：
一维谐振子势\(V(x) = {1 \over 2}m{\omega ^2}{x^2}\)中的粒子的能级是不简并的，而空间反射P为守恒量，[P,H]=0,所以能量本征态必为P的本征态，即有确定宇称。
- 在一般情况下，当能级出现简并时，可以根据对体系对称性的分析，找出其守恒量（根据上面定理可得简并一定有彼此不对易的守恒量
- 要求能量本征态同时又包含H在内的对易守恒量完全集的共同本征态，就可把能级的各简并态标记清楚（守恒量和哈密顿量构成完全集，完全集以能量本征函数为本征态，然后就可以用守恒量对能量的本征函数进行分类表征）
位力（virial）定理
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当体系处于定态（能量的本征态，哈密顿量的本征态）下，关于平均值随时间的变化，有一个有用的定理，即位力（virial）定理
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设粒子处于势场V（r）中，Hamilton量为
\(H = {p^2}/2m + V(r)\)（9）
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考虑\(r \cdot p\)的平均值随时间的变化，按式（3），有
$\eqalign{
& iℏ{d \over {dt}}\overline {r \cdot p} = \overline {[r \cdot p,H]} \cr
& = {1 \over {2m}}\overline {[r \cdot p,{p^2}]} + \overline {[r \cdot p,V(r)]} \cr} $r和动量是不对易的 r和势能是对易的，动量和势能是不对易的
第二章 第三章
$ = iℏ({1 \over m}\overline {{p^2}} - \overline {r \cdot \nabla V} )$
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对于定态，\({d \over {dt}}\overline {r \cdot p} = 0\)，所以
${1 \over m}\overline {{p^2}} = \overline {r \cdot \nabla V} $
即
$2\overline T = \overline {r \cdot \nabla V} $（11）
式中\(T = {{{p^2}} \over {2m}}\)是粒子动能，上式即位力定理