本章目的
本章首先引進范數概念，然后介紹矩陣序列及冪級數的收斂定理，在此基礎上給出矩陣函數的定義，並介紹其計算。
- 矩陣函數
- 范數
- 矩陣函數的應用
范數
內積與范數
由於范數實際上是表示距離的概念，所以這里的符號記法與之前的模類似。
內積空間中兩向量之差的長度固然是這樣的一種量，但還可以有其它形式的量。范數是更為一般的反應向量間“距離”的量。
- \(C^n\)中范數的例子：
范數與極限
范數的可比較性（等價）
矩陣范數
- 矩陣p-范數：
范數的相容性
- 定義：
- 定理：
算子范數
- 定義：
- 定理：
- 列模和范數：列取模求和的最大值；
- 譜范數：特征值模的最大值；
- 行模和范數：行取模求和的最大值。
矩陣2-范數（Frobenius范數）和算子2-范數（譜范數）比較重要。
- 例題：
解：\(||M||_F=\sqrt{a^2+b^2}\)，\(||M||_2=\max\left\{c,d\right\}\)
收斂定理
- 定義：
冪序列
矩陣冪級數
矩陣函數
定義法
對於比較簡單的矩陣，可以直接代入定義中，把矩陣當做x進行計算。
定理
- 定理1：設\(A \in C^{n \times n}，\rho(A)<R\)，又\(f(x)\)為\(x\)的解析函數\(（|x|<R）\)，則\(f(A)=Pdiag[f(J_1),\ldots,f(J_s)]P^{-1}\)，其中
\[f(J_i)=\begin{bmatrix} f(\lambda_i) & f^{\prime}(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-1)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-1)!} \\ 0 & f(\lambda_i) & \ldots & \frac{f^{(r_i-2)}\ \ (\lambda_i)}{(r_i-2)!} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & f^{\prime}(\lambda_i)\\ 0 & 0 & \ldots & f(\lambda_i)\\ \end{bmatrix}_{r_i \times r_i} \]
- 定理2：已知\(n\times n\)矩陣\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)，則\(f(A)\)的特征值為\(f(\lambda_1),f(\lambda_2),\ldots,f(\lambda_n)\).
待定系數法
※ 注意：這里幾重根就提供幾個方程，即求導代入對應的特征值，左右兩邊相等即可。
關聯第三章最小多項式的知識點：最小多項式的根的重數=矩陣的Jordan標准形里以該數為特征值的Jordan塊的最高階數。
因而在待定系數法中往往取階數最高的Jordan塊，因為它涵蓋的范圍最廣、條件最多。找\(g(x)\)的時候應當比最小多項式的次數少1，也就是比最高階數少1.
矩陣函數的性質
這里要注意第二條一定要滿足\(AB=BA\)才可以使用。