自然數取余定義分為兩種：
定義一
定義1：如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q 和 r，滿足a=qd+r且0 ≤ r < d（其中q為商，r為余數）。
定義1一般作為數學中的取余法則，即兩個數取余，余數總是為正數。
舉例：
- 5%3=3x1+2，商為1，余數為2
- (-5)%(-3)=(-3)x2+1，商為2，余數為1
- 5%(-3)=(-3)x(-1)+2，商為-1，余數為2
- (-5)%3=3x(-2)+1，商為-2，余數為1
定義二
定義2：如果a 與d 是整數，d 非零，那么余數 r 滿足這樣的關系：a = qd + r , q 為整數，且0 ≤ |r| < |d|。定義2取余的結果就會導致出現兩個余數了，比如5%(-3) = (-3)x(-1)+2 = (-3)x(-2)-1，所以這里的余數2和-1都滿足定義。
我們把2稱為正余數，-1成為負余數。通常，當除以d 時，如果正余數為r1，負余數為r2，那么有r1 = r2 + d。
所有語言和計算器都遵循了盡量讓商盡量靠近0的原則，即5%(-3) 的結果為2而不是-1，(-5)%3的結果是-2而不是1。
總結
1）不管是兩個同號數取余還是兩個異號數取余，取余結果是正整數才是我們生活中普遍認可的結果。
2）在編譯器中，兩個異號的數取余之后的結果取決於分子的符號。負數%負數，編譯器會將分母的負數自動轉換為正整數，然后再將分子負數的負號提取出來，將兩個正整數取余，最后的結果加上負號就好了。負數%正數，編譯器先將分子負數的負號提取出來，將兩個正整數取余，最后結果加上負號即可。正數%負數，編譯器自動將分母負數轉換為正整數，然后兩個正整數取余得到就是最終結果。