三、電阻電路的一般分析
回路電流法
支路:每一個二段元件稱為一條支路
結點:支路與支路的連接點稱為結點,多個等電位的結點可視為一個結點
路徑:從一個結點到另一個結點所經過的支路集合
回路:從起點出發,終點又回到起點,所形成的的閉合路徑稱為回路,要求中間經過的結點只能經過一次.
網孔:能令回路中不另外含有支路的回路稱為網孔, 網孔數量等於 = KVL獨立方程數.
回路電流法的方差個數 = 未知數個數
結點電壓法
任意選擇某一結點為參考結點,其他結點為獨立結點
結點電壓:獨立結點與參考結點之間的電壓
結點電壓法: 以結點電壓為獨立變量,列寫獨立結點的KCL方程,共有n-1個獨立方程
一般步驟:
- 選定參考結點,標定n-1個獨立結點編號
- 對n-1個獨立結點,以結點電壓為獨立變量,列結點電壓方程
- 求解結點電壓方程,得到n-1個結點電壓
- 通過結點電壓求各支路電流
結點電壓法和回路電流法的比較
四、電路定理
疊加定理
在線性電路中,任一支路的電壓或電流都等於各獨立電源單獨作用在此支路所產生電壓或電流的疊加.
線性電路:電路所建立方程中僅含有線性項的電路
替代定理
對於任意一個電路,若某一支路的電壓為\(u_k\),電流為\(i_k\),那么這條支路就可以用一個電壓等於\(u_k\)的獨立電壓源替代,或者用一個電流等於\(i_k\)的獨立電流源替代,或者用\(R = u_k/i_k\)替代后電路中全部電壓和電流均保持原有值.
戴維寧定理
等效電阻:電阻串聯或並聯都可以等效成一個電阻,稱為等效電阻
如果一端口網絡中僅含線性電阻和受控源,也可等效為一個電阻,稱為等效電阻\(R_{eq}\)
求等效電阻的方法:在端口加電壓源,求電源電源和電流的比值.
戴維寧定理的內容:一個含獨立電源,線性電阻和受控源的一端口,對外電路來說可以用一個電壓源和電阻的串聯來等效.
此電壓源電壓等於一端口的開路電壓,記為\(u_{oc}\)
電阻等於一端口內全部獨立電源置零后的等效電阻,記為\(R_{eq}\)
戴維寧等效電路求解方法:先求開路電壓,再求等效電阻
等效電阻求法:外加電源法和短路電流法
外加電源法:將一端口內所有獨立源置零,在端口外加電壓源,則等效電阻等於外加電壓源電壓和電流的比值.
短路電流法:保留獨立電源，最右側短路\(R_{eq} = u_{oc}/i_{sc}\) 
諾頓定理及其等效電路求解
任何一個含源線性一端口電路,對外電路來說,可以用一個電路源和電阻的並聯組合來等效置換.電流源的電流等於該一端口的短路電流.電阻等於該一端口的輸入電阻
一般情況,諾頓等效電路可由戴維寧等效電路經電源等效變換得到.
最大功率傳輸定理
\(R_L = R_{eq}\) 時功率最大,\(P_{max} = \frac{u^2_{oc}}{4R_{eq}}\)
應用於一端口電路給定,負載可調的情況
特勒根定理,互易定理,對偶原理
特勒根定理1 : 在關聯參考方向下,所有支路上的電壓電流成績的總和為0 , \(\sum^b_{k=1} u_ki_k = 0\)
適用於線性和非線性電流,實際上反映了功率守恆
特勒根定理2 : 若兩個電路具有相同的圖,且電壓電流為關聯參考方向則有 \(\sum_{k=1}^b \hat u_ki_k = 0\) , \(\sum_{k=1}^b u_k \hat i_k = 0\) ,
推論 :兩個結構相同的電路中包含相同的純電阻網絡,則有 \(\sum_{k=1}^r \hat u_ki_k = \sum_{k=1}^r u_k \hat i_k\) , r為除去純電阻網絡外的支路總數.
應用 :
互易定理
如果只含有線性電阻和一個激勵源,那么將激勵和響應的位置互換后,激勵與響應的比值保持不變
對偶原理: KCL與KVL互為對偶
電壓——電流
電阻——電導
電感——電容
串聯——並聯
回路——結點
兩個對偶電路例子：
五、動態電路的時域分析
電容元件
正負電極上分別帶上等量異號電荷，搬去電源，電極上的電荷仍可長久的聚集下去，是一種儲存電能的元件，F（法拉）
\(q = Cu\) C為電容
電容的電壓——電流關系
電容元件VCR的微分形式：\(i = \frac{dq}{dt} = \frac{dCu}{dt} = c\frac{du}{dt}\)
動態元件,隔斷直流的作用
電容元件VCR的積分形式：\(u(t) = \frac{1}{C}\int^t_{-\infin}i(\xi)d\xi = u(t_0)+\frac{1}{C}\int^t_{t_0}i(\xi)d\xi\)
記憶元件,記憶電流的作用,\(u(t_0)\),電容電壓的初始值,也稱為初始狀態.
功率 : \(p = ui = uC\frac{du}{dt}\) p>0, 電容充電,電容吸收功率
儲能 : \(W_c = \frac{1}{2}Cu^2(t)\) , 電能儲能只與當時電壓值有關,電壓不能越變
電感元件
當電流通過線圈,將產生磁通,是一種抵抗電流變化,儲存磁能的元件. H(亨利)
\(\Psi(t) = Li(i)\) L為電感
電感的電壓——電流的關系
電感元件VCR的微分形式 : \(u(t) = \frac{d\Psi}{dt} = L\frac{di(t)}{dt}\)
動態元件,直流時,電感相當於短路,電感電壓為有限值
電感元件VCR的積分形式 : \(i(t) = \frac{1}{L}\int^t_{-\infin}u(\xi)d\xi = i(t_0)+\frac{1}{L}\int^t_{t_0}u(\xi)d\xi\)
記憶元件,記憶電壓的作用,\(i(t_0)\) 初始值
功率 : \(p = ui = L\frac{di}{dt}i\)
電感能在一段時間內吸收能量並轉化為磁場能量儲存起來,電感元件是無源元件,儲能元件
儲能 : \(W_i = \frac{1}{2}Li^2(t)\) 只與當時的電流值有關,電流不能躍變
常系數線性微分方程
一階線性方程 : \(d\frac{dy}{dt} + by = f(t)\) ,\(f(t)\)為自由項
\(f(t) = 0\), 為線性齊次方程, 通解為 \(y = Ae^{-\frac{b}{a}t}\) , A由初始條件決定.
\(f(t) \neq0\) ,非齊次方程, 通解為 \(y = Ae^{-\frac{b}{a}t}+ y^{''}\)
動態電路的方差
含有動態元件電容和電感的電路稱為動態電路,當動態電路狀態發生改變時,需經歷一個變化過程才能達到新的穩定狀態.
含有一個動態元件的線性電路,其方程為一階線性常微分方程,為一階電路.
含有兩個動態元件的線性電路,其方程為二階線性常微分方程,稱為二階電路.
動態電路的初始條件
電容的初始電壓,電感的初始電流
\(0_{-}\) 開關閉合前的一瞬間, \(0_+\) 開關閉合后的一瞬間
動態電路的初始時間點是\(0_+\) ,\(u(0_+) = u(0_-)\) ,\(i(0_+) = i(0_-)\) .
對換路時電容電壓和電感電流發生躍變的情形
電容電壓強迫跳變，電容電流不為有限值。
在換路前后電感電流發生強迫跳變，電感電壓不為有限值。
一階電路的零輸入響應
一階電路的零狀態響應
一階電路的全響應
一階電路分析的三要素
$\tau $ 為時間常數,表征過渡過程的快慢,\(\tau\) 越小,過渡過程越快,反之越慢
電容: \(u_c(t) = u_c(\infin)+[u_c(0_+)-u_c(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}} , \tau = RC\)
電感: \(i_L(t) = i_L(\infin)+[i_L(0_+)-i_L(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}} , \tau = \frac{L}{R}\)
三要素公式: \(f(t) = f(\infin)+[f(0_+)-f(\infin)]e^{-\frac{t}{\tau}}\)
二階電路
