三角函數公式的推導向記憶

我曾經把所有的三角函數公式寫在一篇文章中，還自己編了一些口訣，每天來背誦，可是自從停止背誦的第二天，我就忘得干干凈凈了。或許是我的記憶力差罷。

所以我想嘗試通過一些偏推導向，不過又不全是推導的東西來幫助自己的記憶。

1. 函數關系與誘導公式

1.1 函數關系

可以想起，三角函數可以在單位圓上得到一個很直觀的體現。取圓上的一點與原點連線，其與數軸可以包圍出一個三角形，對於這個三角形，有三個量，即\(x\),\(y\),\(r\).

將這三個量以上下各一個元素的分式的形式進行排列組合，再減去上下相同的無意義項，易得得出的集合里有\(3^2-3=6\)個元素。將這一過程用圖表的方式表達出來如下：

分子\分母	x	y	r
x	\(\emptyset\)	cot	cos
y	tan	\(\emptyset\)	sin
r	sec	csc	\(\emptyset\)

在上表中，位於同一條左低右高斜線上的項互余，即分子分母互為相反。根據恆等式\(x^2+y^2=r^2\)，可以求出所有的函數關系。

1.2 誘導公式

一般的形式為\(sin(\pm x\pm \frac{n}2 \pi),n=0,1,\cdots\)，其中函數也可替換為\(cos\)及\(tan\).雖然這樣的普遍形式看起來很復雜，不過還是可以所有的情況都看作下面的四種情況的前后疊加：

操作	幾何意義
函數內容取反	圓上該點關於x軸取對稱
函數內容\(\pm 2 \pi\)	圓上該點環繞一周
函數內容\(\pm \pi\)	圓上該點關於原點對稱
函數內容取反並加上\(\frac{\pi}{2}\)	圓上該點移動，使得包圍出原來的角的余角

因為已知公式是普適的，所以我們在特殊情況下的驗證可以推廣到所有情況上。假設原來的點落在第一象限內，根據上述四種操作的幾何意義，可以求得每一種原子操作對最后結果所造成的影響。最后，將公式表達為這四種操作的前后疊加，並將哪些影響也前后疊加，即可得到結果。

2 和差公式群

2.1 概述

所謂的和差公式群，是指和差公式本身，以及根據之較容易推導出的一系列公式，包括倍角公式，半角公式，積化和差公式，和和差化積公式。

2.2 De Moivre's formula

\[r_1(\cos\theta_1 + i \sin\theta_1)\cdot r_1(\cos\theta_2 + i \sin\theta_2) = r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)] \]

2.3 和差公式

定義兩個復數分別為：

\[\begin{cases} z_1 = \cos x + i \sin x\\ z_2 = \cos y + i \cos y \end{cases} \]

用兩種不同的方式計算兩者的乘積，構建一個等式，則其實部和虛部分別對應相等。

\[z_1\cdot z_2 = \cos(x+y) + i \sin(x+y)\\ z_1\cdot z_2 = (\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=(\cos x\cos y-\sin x +\sin y) + i(\cos x\sin y + \cos y \sin x)\\ \Rightarrow \\ \begin{cases} \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y\\ \sin(x+y) = \cos x \sin y + \cos y \sin x \end{cases} \]

當和轉變為差，很顯然的，右側式子中的正負號也會發生轉變，但是其他部分將保持不變。

2.4 倍角公式與半角公式

當和差公式中的和的兩個算數相同時，就得到了倍角公式。具體形式如下：

\[\sin 2x = 2 \sin x \cos y\\ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = -1 + 2 \cos ^2 x \]

使用其中的第二條等式，很容易地可以求得如下等式：

\[\sin^2 x = \sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}\\ \cos^2 x = \sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}} \]

注:上面兩組式子，不僅是倍角公式和半角公式，同時也是升冪公式和降冪公式。

2.5 積化和差公式

看看所有的可能的積化和差公式的輸入：

	sin	cos
sin	\(\sin \alpha\sin \beta\)	\(\sin \alpha\cos \beta\)
cos	\(\cos \alpha\sin \beta\)	\(\cos \alpha\cos \beta\)

試圖去想想這些元素在和差公式的哪里出現過，以什么形式出現。如果你的回憶足夠好，那么就能夠很容易地快速寫出它們所對應的結果。

2.6 和差化積公式

看看所有的可能的和差化積公示的輸入：

	相加	相減
sin	\(\sin \alpha + \sin\beta\)	\(\sin \alpha - \sin\beta\)
cos	\(\cos \alpha + \cos\beta\)	\(\cos \alpha - \cos\beta\)

對於這些輸入，我們並沒有那么熟悉。不過我們還是可以試圖去想象通過積化和差公式的逆過程去得到結果。我們可以設置一個對應使得：

\[\alpha \Rightarrow p + q\\ \beta \Rightarrow p - q \]

那么，這些輸入將變得熟悉起來。然后，求出結果后，進行一個反對應來恢復變量：

\[p \Rightarrow\frac{\alpha+\beta}{2}\\ q \Rightarrow\frac{\alpha-\beta}{2} \]

3. 萬能公式

3.1 關於tan的情況

上訴描述中都可以忽略了對於\(\tan\)的討論，實際上是因為它沒有什么好說的，通過\(\frac{\sin}{\cos}\)就可以獲得了。

3.2 tan的倍角公式

\[\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2 \frac{x}{2}} \]

根據上式，可以作對應三角形如下：

據此圖像，則很容易得到\(\sin\)及\(\cos\)的萬能公式。