素數（質數）

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目錄

• 朴素算法
  • code
• 優化
  • code
• 埃氏篩法
  • code

朴素算法

首先，我們得知道素數的概念：除了1和這個數本身，這個數沒有其他因子（約數），這個數就是一個素數。不是素數的數，就是合數。

於是，設這個數為n，我們從2枚舉到n-1，只要n模這些數都不等於0，則n就是素數。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=n-1;i++)
{
	if(n%i==0)
	{
		flag=1;
		break;
	}
}
if(flag==0)
{
	cout<<n<<"是一個質數";
}
else
{
	cout<<n<<"不是一個質數";
}

但是這種方法的時間復雜度極其大，假設問你從1~n的所有素數，這種方法就會爆，於是，我們來想怎么優化。

優化

首先，我們得知道一個定理，一個數能被多個質數給表示出來，比如說24=\(2^3*3\)，這些因數就被稱為質因數。

然后，我們還要知道一個數最多只有一個大於sqrt（n）的質因數（sqrt（n）表示的是n的開方。），為什么？接下來就是推導過程：

我們設a和b是n的質因數，且a!=b，a和b同時大於sqrt（n）。
但是a*b確實要大於n，而一個數的因子相乘不可能大於它本身，所以不可能有兩個或兩個以上大於sqrt（n）的質因數。

於是，我們上面的枚舉就不用枚舉到n-1，枚舉到sqrt（n）就可以了。
這時，有人會問，為什么大於sqrt（n）的那個質數不用枚舉？
因為想要存在大於sqrt（n）且小於n的質因數，就必須要有小於sqrt（n）的質因數。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
	if(n%i==0)
	{
		flag=1;
		break;
	}
}
if(flag==0)
{
	cout<<n<<"是一個質數";
}
else
{
	cout<<n<<"不是一個質數";
}

埃氏篩法

這個求素數的方法在求1~n之間的素數是比上面的快的。（廢話）

首先，我們知道一個數是可以被多個質數表示出來的，於是我們就可以在求素數時，就把他的倍數求出來，然后就可以提前標記掉，就可以更快的求出來了。

在枚舉到一個素數的時候，就枚舉他的倍數，把他的倍數標記為1，所以標記為0的數就是質數。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
	if(bz[i]==0)
	{
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
		{
			bz[j]=1;
		}
		cout<<i<<"是一個質數"<<endl;
	}
}