素数（质数）

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朴素算法

首先，我们得知道素数的概念：除了1和这个数本身，这个数没有其他因子（约数），这个数就是一个素数。不是素数的数，就是合数。

于是，设这个数为n，我们从2枚举到n-1，只要n模这些数都不等于0，则n就是素数。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=n-1;i++)
{
	if(n%i==0)
	{
		flag=1;
		break;
	}
}
if(flag==0)
{
	cout<<n<<"是一个质数";
}
else
{
	cout<<n<<"不是一个质数";
}

但是这种方法的时间复杂度极其大，假设问你从1~n的所有素数，这种方法就会爆，于是，我们来想怎么优化。

优化

首先，我们得知道一个定理，一个数能被多个质数给表示出来，比如说24=\(2^3*3\)，这些因数就被称为质因数。

然后，我们还要知道一个数最多只有一个大于sqrt（n）的质因数（sqrt（n）表示的是n的开方。），为什么？接下来就是推导过程：

我们设a和b是n的质因数，且a!=b，a和b同时大于sqrt（n）。
但是a*b确实要大于n，而一个数的因子相乘不可能大于它本身，所以不可能有两个或两个以上大于sqrt（n）的质因数。

于是，我们上面的枚举就不用枚举到n-1，枚举到sqrt（n）就可以了。
这时，有人会问，为什么大于sqrt（n）的那个质数不用枚举？
因为想要存在大于sqrt（n）且小于n的质因数，就必须要有小于sqrt（n）的质因数。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
	if(n%i==0)
	{
		flag=1;
		break;
	}
}
if(flag==0)
{
	cout<<n<<"是一个质数";
}
else
{
	cout<<n<<"不是一个质数";
}

埃氏筛法

这个求素数的方法在求1~n之间的素数是比上面的快的。（废话）

首先，我们知道一个数是可以被多个质数表示出来的，于是我们就可以在求素数时，就把他的倍数求出来，然后就可以提前标记掉，就可以更快的求出来了。

在枚举到一个素数的时候，就枚举他的倍数，把他的倍数标记为1，所以标记为0的数就是质数。

code

cin>>n;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
	if(bz[i]==0)
	{
		for(int j=i+i;j<=n;j+=i)
		{
			bz[j]=1;
		}
		cout<<i<<"是一个质数"<<endl;
	}
}