求100以內的素數（質數）算法梳理

質數定理： 
1、從2開始到自身的-1的數中找到一個能整除的（從2開始到自身開平方的數中找到一個能整除的）。 
2、一個合數一定可以分解成幾個質數的乘積，也就是說，一個數如果能被一個質數整除就是合數。(使用列表保存質數）

使用定理1的基本寫法：

（1）

n = 100
for i in range(2, n):
    for j in range(2, i):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i, end=' ')

這種基本寫法效率不高，有2點可以改進的地方：
1、第一層循環的i取值時，因為偶數確定不是質數，所以排除偶數，使用range()函數排除偶數，range(3, n, 2)這樣就減少了一半的數。
2、第二層循環j取值時，考慮從2開始到i開平方取值，同時也把偶數排除range(3, int(i**0.5)+1, 2)這樣也可減少一半的數。2就是質數，單獨打印。

（2）改進（1）

n = 100
print(2)
for i in range(3, n, 2):
    for j in range(3, int(i**0.5)+1, 2):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i, end=' ')

(3)再（2）的基礎上還有優化的點，發現第一層循環i取值時，當i>10時，5的倍數也可排除

n = 100
print(2)
for i in range(3, n, 2):
    if i > 10 and i % 5 == 0:
        continue
    for j in range(3, int(i**0.5)+1, 2):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i, end=' ')

（4）利用定理2，用列表保存上一次的運算結果

n = 100
L = [2]
for i in range(3, n, 2):
    for j in L:
        if i % j == 0:
            break
    else:
        L.append(i)
print(L)

此種寫法的效率不高，第一層循環的i沒必要與列表中的每一個元素取余，與從2開始到i的開平方處之間的數取余即可。

（5）改進（4）

n  =100
L = [2]
for i in range(3, n, 2):
    flag = False
    for j in L:
        if i % j == 0:
            flag = True
            break
        if j > int(i**0.5):
            break
    if not flag:
        L.append(i)
print(L)

第二層循環第二個判斷處if j > int(i**0.5)程序運行時，每次判斷i都會開平方，所以提到循環之外

（6）改進（5）

n = 100
L = [2]
for i in range(3, n, 2):
    flag = False
    num = int(x**0.5)
    for j in L:
        if i % j == 0:
            flag = True
            break
        if j > num:
            break
    if not flag:
        L.append(i)
print(L)

 

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