[摘抄]簡要理解矩陣計算在向量空間變換中的應用

向量是“方向”和“數量”的組合。在一個二維或三維空間里，一個向量，表示一個具體的位置。我們可以通過向量和整數的運算，組合而成新的位置。但是，當我們要對向量存在的空間本身進行變換的時候，該怎么辦呢？

這時，我們就需要一種新的數學工具，叫做矩陣。

什么是矩陣

簡單來說，矩陣看起來就是一組排列起來的向量，其中向量的維數是矩陣的行，向量的個數，叫做矩陣的列。在下面的注釋中，就是一個3x3的矩陣：

///
/// | 5 6 7 |
/// | 2 4 3 |
/// | 1 9 8 |
///

但是，矩陣的行和列並不一定是相同的，並且，我們管這種行列個數相同的矩陣，叫做方陣。接下來，為了盡可能簡化我們討論的范圍，我們將只基於2x2和3x3這兩種方陣研究矩陣的運算。當你理解了它們的含義之后，也就不難擴展到更一般的情況了。

理解矩陣和向量的運算

首先，來看方陣M和向量v相乘的運算規則，簡單來說，就是先把向量v放倒，然后依次和矩陣M的每一行中的對應元素相乘並相加，每向下處理過一層，就產生一個新的結果。因此，最終相乘的結果，還是一個向量，這個向量的維數和矩陣的行數是相等的。

 

例如一個3x3的方陣乘以一個三維向量，得到的結果仍舊是一個三維向量：

///
/// | 5 6 7 |   | 1 |   | 1 * 5 + 2 * 6 + 3 * 7 |
/// | 2 4 3 | x | 2 | = | 1 * 2 + 2 * 4 + 3 * 3 |
/// | 1 9 8 |   | 3 |   | 1 * 1 + 2 * 9 + 3 * 8 |
///

要注意的是，相乘的順序，一定是方陣在前，向量在后，我們才能能到一個新的向量。如果反過來，就變成了兩個矩陣相乘，它們的含義是不同的，甚至，是不能相乘的。

理解了這個計算方式之后，你可能會想，為什么要把向量和矩陣相乘呢？直接把答案說出來，就是：

為了變換向量所在的空間

為了變換向量所在的空間

為了變換向量所在的空間

重要的事情要說三遍，那么空間變換具體的含義是什么呢？我們知道，在一個二維平面里，我們可以選取兩個基向量e₁和e₂確定一個空間，在這個空間里，向量w就可以表示為5e₁+2e₂。

 

現在，假設我們要換一組基向量e₃ e₄表達這個2維空間，在更換的過程里，我們要讓一些條件保持不變：

• 原點位置不變；
• 平行線變換后仍舊是平行線；
• 直線變換后仍舊是直線；

 

這樣，同樣是(5, 2)這個位置，在新的坐標系中，就變成了5e₃+2e₄，也就是說，同樣的向量，在我們變換了空間之后，它就會呈現不同的樣子。不難想象，利用這個特性，我們就能讓圖像呈現出遠近、縮放等不同的視覺效果。

現在，為了量化這個變換的過程，我們把這些基向量放在一個笛卡爾坐標系中。假設，e₃的坐標是(x₁₁, y₂₁)，e₄的坐標是(x₁₂, y₂₂)，其實，我們不用管這個具體的數值是什么。這樣，(5, 2)在e₃ e₄空間中的變換就可以寫成這樣：5(x₁₁, y₂₁) + 2(x₁₂, y₂₂)，把這個式子做一些簡單的變換就可以得到這樣的結果：5x₁₁ + 2x₁₂ + 5y₂₁ + 2y₂₂，發現什么了么？如果我們把e₃ e₄的值寫成一個2x2方陣，就更加明顯了：

 

沒錯，按照矩陣和向量乘積的運算法則，這個結果就是變換后的向量，理解了這個過程之后，我們就可以反過來理解剛才強調了三遍的結果：當我們用一個矩陣和向量相乘的時候，是為了變換向量所在的空間。

單位矩陣

接下來，我們來看一種特殊的方陣，叫做單位矩陣，這種方陣左上到右下對角線都是1，其它位置都是0。例如這樣：

///
///             | 1 0 0 |
/// | 1 0 |     | 0 1 0 |
/// | 0 1 |     | 0 0 1 |
///

也就是說，在笛卡爾坐標系中，單位矩陣是由基底向量排列而成的矩陣。不難理解，這種矩陣和向量相乘的時候，不會帶來任何變化。但通過它，我們可以方便的某個維度上對向量進行調整。

例如，要水平翻轉平面的X軸，可以用：

///
///              | -1 0 0 |
/// | -1 0 |     |  0 1 0 |
/// |  0 1 |     |  0 0 1 |
///

要垂直翻轉Y軸，可以用：

///
///             | 1  0 0 |
/// | 1 0 |     | 0 -1 0 |
/// | 0 -1 |    | 0  0 1 |
///

要讓對象遠離當前位置可以用：

///
///              | 0.5 0   0   |
/// | 0.5   0 |  | 0   0.5 0   |
/// | 0   0.5 |  | 0   0   0.5 |
///

如果你想不太清楚道理，試着用一個向量分別去觀察下和這些方陣相乘的結果，一下子就會明白了。通過這些例子，我們不難發現，對於任意一個2x2的方陣來說，它的第一列，就是變換后(1, 0)所在的位置；而第二列，就是變換后(0, 1)所在的位置，對於3x3的方陣來說，道理也是如此。理解了這個規律，就不難想象一個矩陣對向量空間的變化了。

三維空間中的坐標軸旋轉

理解了基於單位矩陣對空間進行的變換之后，我們來看個更一般情的情況，即在三維空間中按坐標軸旋轉，稍后，在ARKit的例子中，我們將通過旋轉坐標軸，在空間的不同位置里放置物品。例如，我們握住Z軸，讓XY平面水平旋轉：

在這個過程里，由於空間的原點不變，空間的Z軸坐標也沒變，因此，我們可以用一個XY平面來計算這個變換過程。假設已知點M，如何用M的坐標得到旋轉β角之后N的坐標呢？我們先把它們各自的坐標寫出來：

然后，我們把cos(α+β)和rsin(α+β)展開，並做一些簡單的代數運算，就可以得到用M坐標表示的N坐標：

這樣，再把XY平面放回立體空間，根據矩陣的計算規則，我們就可以得到按Z軸旋轉的矩陣了：

同理，我們也可以得到按X軸或Y軸旋轉的變換矩陣。

作者：螞蟻安然
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