1 命題邏輯：語義
1.1 命題和連接符
- Q: 數學語言，如“\(x_0\)是集合\(X\)的最大元”是符號語言嘛？如何把它轉化為符號語言？
A: 不是。數學語言是自然語言+記號。\(x_0\in X,\forall x\in X,x\le x_0\). 注意\(x_0\in X\)不能遺漏！ - Q: 邏輯矛盾和悖論有何聯系？悖論常常如何產生矛盾？
A: 邏輯矛盾是同時斷言一個陳述和它的否定。悖論是一種邏輯矛盾的形式（導致自相矛盾的陳述的一種）。
實際上，悖論常常是自指語句，引起自相矛盾。當然也可以：“循環”地“指一圈”，導致自相矛盾。
注：悖論不是命題。並且，存在既不是悖論也不是命題的陳述句（即不是悖論，但並不具有真假意義）。 - Q: 用多項式及其在某點的值類比，直觀闡述簡單命題、復合命題、命題變元、命題形式的關系。
A: 簡單命題相當於一個數字，如0. 復合命題相當於已知數組成的表達式，如\(1+1\). 命題變元相當於未知數，如\(x\). 命題形式相當於含未知數代數式，如\(1+x+y\).
復合命題的真值依賴於其中簡單命題（原子）的真值及連接符。
1.2 真值函數和真值表
- Q: \((p\vee q)\vee r\)對應的布爾函數（真值函數）定義域和值域分別是什么？將它表示成真值表為幾行幾列？一共有多少個與它相同定義域和值域的真值函數？
A: \(f:\{1,0\}^3\to\{1,0\}\).
（如果表頭4列分別為\(p,q,r,(p\vee q)\vee r\)，不計表頭所占的1行，則）4列，8行。
\(2^{2^3}\)個。（當然，我們認為當定義域、值域和對應法則均相同的函數是相同的，而不重復計數。即使其對應命題形式可能不同） - Q: “如果\(1=2\)則\(-1=-2\)”是真命題嗎？
A: （按數字和符號通常的意義理解）是真命題。因為\(1=2\)為假命題，故用\(\to\)連接它和任何命題都得到真命題。（這是“空虛(vacuous)的真”） - Q: 如何理解“命題形式可嵌套，可潛在無限長；給定一個命題形式，則為有限長”？
A: 嵌套：命題形式由歸納（遞歸）定義，即首先任一變元是命題形式，其次變元間各種（一元或二元）運算也得到命題形式。
“潛在”意為任給一個命題形式，都存在“比它更長”的，此過程可以“無限進行”下去。但是每一個確定的命題形式都是有限長的。
注：線性代數中無限維線性空間中“線性表出”的定義也是如此。確定的某一種線性表出方式一定只含有限個向量。但並不存在一個整數是所有表出方式中向量個數的上界。 - Q: 如何理解“技術性符號如
( ) ...都不是必要的”？請解釋：沒有省略號，怎么表示\(p_1\wedge p_2\wedge\cdots \wedge p_n\)呢？
A: 比如中綴表達式轉化為前綴表達式（\(p\vee q\vee r\)轉化為\(\vee\vee pqr\)）則無需括號。用省略號表達命題形式只是為了表達方便，完全可以不需要。
“沒有省略號，怎么表示\(p_1\wedge p_2\wedge\cdots \wedge p_n\)”這個疑問並不清晰合理。實際上，當\(n\)為任意確定正整數時，顯然可以去除省略號。而泛泛地說“\(p_1\wedge p_2\wedge\cdots \wedge p_n\)”而不確定\(n\)則並不是一個命題形式（不符合命題形式的定義）。 - Q: “判定一個命題形式是否可滿足/重言式/矛盾式的方法就是構造其真值表”是否說明SAT問題有通用解法？是否說明了解決了\(P=^?NP\)問題？為什么？
A: 構建真值表需要指數復雜度，是一個平凡的通用解法。這樣的“解決”並沒有帶來任何新的意義。
注：SAT問題指判定一個命題形式是否可滿足。如果找到了多項式復雜度的解決方法才相當於解決了\(P=^?NP\)問題。 - Q: 邏輯等價和運算符\(\leftrightarrow\)有何聯系和區別？
A: 聯系：若\(\mathscr A\leftrightarrow\mathscr B\)是重言式，稱\(\mathscr A \equiv \mathscr B\). 然而要注意邏輯等價\(\equiv\)針對的是命題形式，而\(\leftrightarrow\)可以連接命題（復合命題或簡單命題）或者命題形式。
更具體地說：你可以下結論：\(\mathscr A\equiv \mathscr B\)，也可以下結論：\(\mathscr A\leftrightarrow \mathscr B\)是重言式。但是，\(\mathscr A\leftrightarrow \mathscr B\)本身只是一個命題形式，並不是“結論”，與\(\mathscr A\equiv \mathscr B\)含義不同。
注：中文術語：若……則……、當且僅當：針對命題；邏輯隱含、邏輯等價：針對命題形式。 - Q: 簡述具體怎么構造\(\sim (p\wedge q)\leftrightarrow((\sim p)\vee (\sim q))\)的真值表。
A:
例如可以如此進行，先寫黑色，再寫紅色……總之簡單命題最先寫，接着運算順序先的先寫。
1.3 操作和替換規則
- Q: 設\(\mathscr A,\mathscr A\to \mathscr B\)都是重言式，那么\(\mathscr B\)（）。試用反證法證明該命題。如果不用反證法，可以如何證明？該命題證明和“當\(\mathscr A\)為重言式時，\(\mathscr A_{p_1,p_2,p_3/\mathscr A_1,\mathscr A_2,\mathscr A_3}\)也為重言式”有何異同？
A: 也是重言式。反證：如果存在指派使得\(\mathscr A\)真，\(\mathscr B\)假，那么\(\mathscr A\to \mathscr B\)依定義不是重言式。
如果不反證，可以采用“分類討論”，即每一個指派都使得\((\mathscr A,\mathscr B)\)取值組合是\(\{0,1\}^2\)的一者。討論總共4種情況即可。
注：“反證法”和“分類討論”當然都需要排中律。
異同：兩者都可以用“反證法”“分類討論”等證明。如果硬要說不同點，可能是后者涉及3個命題形式的連接，這里3可以擴展成任意確定的正整數\(n\). - Q: 列真值表說明\(p\vee q\)和\(q\vee p\)在一切\(p,q\)指派下，取值都相同（\(p,q\)都是命題變元）。此事實和兩命題形式的交換律有什么區別和聯系？
A: 真值表略。該事實表示這兩個命題形式的連接\(p\vee q\leftrightarrow q\vee p\)是重言式，可以稱為“針對命題變元\(p,q\)的關於\(\vee\)的交換律”，但不是一般的“命題形式的交換律”。
實際上，把\(p,q\)替換成任意命題形式\(\mathscr A,\mathscr B\)后，新命題形式也是重言式。所以對於任意\(\mathscr A,\mathscr B\)，都有\(\mathscr A\vee \mathscr B\leftrightarrow \mathscr A\vee \mathscr B\)是重言式，也就是兩命題形式的關於\(\vee\)的交換律：\(\mathscr A\vee \mathscr B\equiv \mathscr A\vee \mathscr B\). - Q: 設火星人用\(C\)表示\(\sim\)，用\(A,B\)分別表示\(0,1\)中一者且兩者意義不同，用\(D,E\)分別表示\(\wedge,\vee\)中一者且兩者意義不同，\(F_A,F_B\)分別意指“取值為\(A\)”和“取值為\(B\)”。
那么你有可能從火星人寫出的句子\(ADCBECAF_A\)中看出各個字母的含義嘛？你有可能命令火星人寫出更多這樣的句子來看出字母含義嘛？為什么？給出證明。
A: 不可能。因為所有0和1互換，\(\wedge\)和\(\vee\)互換后，整個復合命題真值也一定改變（真一定變為假，假一定變為真；\(F_A\)一定變為\(F_B\)，\(F_B\)一定變為\(F_A\)）。
證明是使用數學歸納法，不斷增加復合命題的長度。
注：如果火星人有“異或”運算符，我們就可以推斷出字母含義了。 - Q: 舉自然語言中的例子說明：無矛盾律、排中律、雙重否定律、重言律。
A: 提示：“重言”的字面意思就是“說兩遍”。 - Q: 舉數學證明中的例子說明：贖出律、換位律。
A: 舉例：如果已知\(f\)是復平面上解析函數，那么只要再加入條件“\(f\)有界”，就得到了\(f\)是常數。實際上，“贖出律”的思維方式非常普遍，一般來說是有一個比較容易滿足的“弱”的題設，和另一個較“強”的題設。“弱”的題設非常容易驗證或是常常已知。比如復變函數題目常常給“解析”條件。
“換位律”在數學證明中就對應反證法。 - Q: 合取、析取的交換律、結合律、分配律和四則運算的這些運算定律有何不同？
A: 例如：合取和析取地位是對等的，故有2條分配律。
1.4 范式
- Q: 真值函數和析取范式（DNF）有何聯系？如何寫出合取范式？
A: 只要真值函數不恆為0，就可以根據真值函數取值為1的那些指派，寫出若干個基本合取式，再做析取得到析取范式。
根據使得真值函數取值為0的那些指派，可以寫出合取范式。也可以通過\(\sim \mathscr A\)的析取范式寫出\(\mathscr A\)的合取范式。（把\(\sim\mathscr A\)中所有命題變元都取否定，同時交換所有\(\wedge,\vee\)即可）
1.5 連接符的完備集
- Q: 合取范式能說明什么集合是連接符的完備集？
A: \(\{\sim, \wedge,\vee\}\) - Q: 為什么說\(\{\sim,\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow\}\)的任意完備子集必須含有\(\sim\)？
A: 最簡單的證明方法：考慮\(\mathscr A \wedge \mathscr A,1\wedge \mathscr A,\mathscr A \wedge 1,1 \wedge 1,\mathscr A \vee\mathscr A\cdots\)，4個連接符，共16個命題形式。發現所有結果都是\(1\)或者\(\mathscr A\).
根據數學歸納法，這說明命題變元\(p\)通過\(\{\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow\}\)無論如何連接只能得到\(p\)或\(1\)，則說明\(\{\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow\}\)不完備。 - Q: 接上，如果運算符連接的命題形式除了\(\mathscr A\)，還允許有\(0,1\)，那么有可能僅通過\(\{\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow\}\)連接得到\(\sim \mathscr A\)嗎？為什么？
A: 可能，例如\(\mathscr A\leftrightarrow 0\equiv \sim \mathscr A\). 但這不能說明“完備”。 - Q: 如何證明“與非”連接符的單元素集構成一個完備集？
A: 提示：\(\mathscr A|\mathscr A\equiv \sim\mathscr A, (\mathscr A | \mathscr A) |( \mathscr B | \mathscr B)\equiv\mathscr A \vee \mathscr B\) - Q: 異或連接符為什么用\(\oplus\)表示？（它和加法有何關系？）
A: 在模2意義下相加。 - Q: 對每個不同的二元真值函數，各自定義一個連接符，則總共有（）種連接符。請直接說出其中我們已經定義的7種。請問其中有多少種這樣的連接符構成單元素的完備集？
A: \(2^{2^2}=16\)，\(\wedge,\vee,\to,\leftrightarrow,\downarrow,|,\oplus\)
完備集只有\(\{|\},\{\downarrow\}\). 因為根據1.的方法，可以說明單元素完備集對應的真值函數\(f\)一定有\(f(0,0)=1,f(1,1)=0\). 再討論：如果像\(f(p,q)\equiv \sim q\)這樣“只和一邊有關”，則顯然也是不可的。
1.6 推理及有效性
- Q: 如果認為推理規則和推理過程正確無誤，那么否定演繹推理的結果就相當於否定了什么的正確性？
A: 基本前提（公理）。 - Q: 依據推理形式的原始定義，如何表示一個命題形式作為前提推出多個命題形式作為結論？
A: 第一行寫前提（一個命題形式），第二行以\(\therefore\)開頭，寫出多個命題形式以合取連接的命題形式即可。 - Q: 說明一個推理形式無效，可以考察一些使得結論為假的指派（一般來說是所有使得結論為假的指派的一個真子集），再（）。也可以反過來，（）。
A: 考察題設是否可能為真。先考察一些題設為真的指派再考察結論是否可能為假。
注：在數學考試中舉反例常常需要這樣。 - Q: 嘗試用連接符的實際意義、命題形式的定律等，記憶常見的有效推理形式。
A: \(\to\)的實際意義可用於記憶分離規則（三段論）\(\mathscr A,\mathscr A\to\mathscr B;\therefore \mathscr B\)和假言三段論\(\mathscr A\to\mathscr B,\mathscr B\to\mathscr C;\therefore\mathscr A\to\mathscr C\)。結合換位律記憶逆分離規則。
析取的實際意義可用於記憶析取三段論。
無矛盾律和排中律可用於記憶歸謬法。
合取和析取的實際意義可用於記憶引入規則和消去規則。
（言之成理即可） - Q: 有效的推理形式和重言式有何聯系？
A: 推理形式有效當且僅當\(\wedge_{i=1}^n\mathscr A_i\to \mathscr A\)是重言式。 - Q: \(\to\)，邏輯隱含，推理形式，蘊涵有何異同？
A: \(\to\)連接命題形式得到命題形式，若連接得到重言式則稱左側邏輯隱含右側。
設\(\Gamma=\{\mathscr A_1,\cdots,\mathscr A_n\}\)，或相當於\(\Gamma = \wedge_{i=1}^n \mathscr A_i\)，則\(\Gamma\models\mathscr A\)等價於：\(\mathscr A_1,\cdots,\mathscr A_n;\therefore \mathscr A\)是有效的推理形式。
注：\(\Gamma \models \mathscr A\)就是對所有\(v\models\Gamma\)都有\(v\models\mathscr A\). \(\models\)符號有兩種含義！
\(\to\)和邏輯隱含考慮兩個命題形式的關系（用一階邏輯的語言說：一個是“函項符”一個是“謂詞符”）。
而推理形式和蘊涵都考慮一個命題形式集合和另一個命題形式的關系（都是“謂詞符”）。
當然可以把命題形式的（有限）集合用\(\wedge\)連接得到命題形式。
勘誤集
ml-1_1.pdf
- p6 底下一行字不夠顯示。
- p24 最后一句：“符合”改為“符號”