淺談生成函數推導斐波那契數列以及特征函數

一次數學課，尊敬的Mr.ZHU與L先生提出了一個叫做特征函數的東西，作為前競賽生的Marcelo Jin 一驚，這不正是生成函數的化簡版嘛，於是他決定，周日的時候再來好好回顧一下這個有趣的算法。

一.關於生成函數

1.數列的多項式表示法

對於一個數列\(a_n\),我們可以利用一個多項式來表示它，即\(A(x)=\Sigma a_i x^i\)

舉個例子，對於數列\(a_n=n\),它的多項式表示法就是\(A(x)=x+2x^2+3x^3+...\)

這里的多項式是形式冪級數，也就是變量只是一個符號，我們不關心它取值帶來的影響，只關心它所攜帶的信息。

因為本篇着眼於文化課上的生成函數應用，所以暫且不提指數型生成函數

2.生成函數的封閉形式

再舉個例子，對於序列\(<1,1,1,1...>\)，它的生成函數要寫成一個多項式的形式，十分不直觀，我們可以考慮把它的生成函數寫成一個封閉的形式。

這里，分享兩個方法。

設該數列的生成函數為\(A(x)\)

Solution 1：

根據我們小學就學過的等比數列求和公式，
\( A(x)=\frac{x^n-1}{x-1} \)

所以\(lim_{n\rightarrow+\infty} A(x)=\frac{1}{1-x}\)

Solution 2:

\(A(x)⋅x+1=A(x)\)

\(So\) \(we\) \(have\) \(A(x)=\frac{1}{1-x}\)

推廣一下，又有
\(\frac{1}{1-kx}=1+kx+k^2x^2+k^3x^3...\)

也就是說，生成函數為\(\frac{1}{1-kx}\)的數列的通項公式為\(a_n=k^n\)

3.生成函數的應用

生成函數一般有兩個用途

1.對於給定的遞推公式，求其通項公式

2.解決一些計數類問題

二.斐波那契數列通項公式的推導

我們設斐波那契數列的通項公式為\(f_n\)，設其生成函數為\(F(x)\)，那么

\( F(x)=\Sigma{f_ix^i}=f_1x+ \Sigma_{i\geq2}{f_ix^i} \)

\( =x+\Sigma_{i\geq2}(f_{i-2}+f_{i-1})x^i \)

\( =x+x^2\Sigma_{i\geq2}f_{i-2}x^{i-2}+x\Sigma_{i\geq2}f_{i-1}x^{i-1} \)

\( =x+x^2F(x)+xF(x) \)

所以，\(F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)
可用待定系數法分解為:

\(F(x)=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1}{1-\frac{1+\sqrt5}{2}x})-(\frac{1}{1-\frac{1-\sqrt5}{2}x}))\)
根據之前的結論，\(f_n=\frac{1}{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n)\)

三.關於特征函數

神·朱老師說，對於一個遞推式\(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\)，可以寫成\(x^2=x+1\)的形式，或者再都降個次，也就是\(x=1+\frac{1}{x}\)的形式，我們再觀察上面的\(F(x)\)，發現互為倒數，也就是說特征函數可以由生成函數來推導。