float類型的存儲

之前我們學過了Java的四種基本整數類型：

• byte（1字節）

• short（2字節）

• int（4字節）

• long（8字節）

其中一個字節是8位，所以能表示的個數就是2^8*x個(其中x表示字節數)

因為有正數和負數，所以范圍就是-2^8*x-1到​2^8*x-1​-1，正數為什么要減一呢，因為有個0算正整數。

可能看起來不太簡潔但意思就是這個意思

而浮點數分別為float（4字節）和double（8字節）

也就是32位和64位

這在計算機中要怎么表示呢

無論是單精度還是雙精度在存儲中都分為三個部分：

• 符號位(Sign) ：0代表正，1代表為負

• 指數位（Exponent）：用於存儲科學計數法中的指數數據，並且采用移位存儲

• 尾數部分（Mantissa）：尾數部分

　　首先我們知道常用科學計數法是將所有的數字轉換成(±)a.b x 10^c ​的形式，其中a的范圍是1到9共9個整數，b是小數點后的所有數字，c是10的指數。

而計算機中存儲的都是二進制數據，所以float存儲的數字都要先轉化成(±)a.bx2^c​，由於二進制中最大的數字就是1，所以表示法可以寫成(±)1.b x 2^c​的形式，float要想存儲小數就只需要存儲(±)，b和c就可以了。

　　float的存儲正是將4字節32位划分為了3部分來分別存儲正負號，小數部分和指數部分的：

• Sign（1位）：用來表示浮點數是正數還是負數，0表示正數，1表示負數。

• Exponent（8位）：指數部分。即上文提到數字c，但是這里不是直接存儲c，為了同時表示正負指數以及他們的大小順序，這里實際存儲的是c+127。

• Mantissa（23位）：尾數部分。也就是上文中提到的數字b。

三部分在內存中的分布如下，用首字母代替類型

S	E	E	E	E	E	E	E	E	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1

float存儲示例

　以數字6.5為例，看一下這個數字是怎么存儲在float變量中的：

先來看整數部分，模2求余可以得到二進制表示為110。

再來看小數部分，乘2取整可以得到二進制表示為.1

（小數轉換二進制方法：乘2取整法，即將小數部分乘以2，然后取整數部分，剩下的小數部分繼續乘以2，然后取整數部分，剩下的小數部分又乘以2，一直取到小數部分為零為止。如果永遠不能為零，就同十進制數的四舍五入一樣，按照要求保留多少位小數時，就根據后面一位是0還是1，取舍，如果是零，舍掉，如果是1，向入一位。換句話說就是0舍1入。讀數要從前面的整數讀到后面的整數。

例：將0.375換算為二進制
得出結果：將0.375換算為二進制（0.011）2
分析：第一步，將0.375乘以2，得0.75,則整數部分為0,小數部分為0.75;
第二步, 將小數部分0.75乘以2,得1.5,則整數部分為1,小數部分為0.5;
第三步, 將小數部分0.5乘以2,得1.0,則整數部分為1,小數部分為0.0;
第四步,讀數,從第一位讀起，讀出每一次的整數部分，讀到最后一位，即為0.011。）

拼接在一起得到110.1然后寫成類似於科學計數法的樣子，得到1.101 x ​ 2²。

從上面的公式中可以知道符號為正，尾數是101，指數是2。

符號為正，那么第一位填0，指數是2，加上偏移量127等於129，二進制表示為10000001，填到2-9位，剩下的尾數101填到尾數位上即可

S	E	E	E	E	E	E	E	E	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M
0	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

內存中二進制數01000000 11010000 00000000 00000000表示的就是浮點數6.5

float范圍

　　明白了上面的原理就可求float類型的范圍了，找到所能表示的最大值，然后將符號為置為1變成負數就是最小值，要想表示的值最大肯定是尾數最大並且指數最大，那么可以得到尾數為 0.1111 1111 1111 1111 1111 111，指數為 1111 1111，但是指數全為1時有其特殊用途，所以指數最大為 11111110，指數減去127得到127，所以最大的數字就是1.1111111 1111111 11111111 x 2¹²⁷​，這個值為 340282346638528859811704183484516925440，通常表示成3.4028235E38 ​，那么float的范圍就出來了：

[-3.4028235E38, 3.4028235E38]

float精度

　　float 類型的數據精度取決於尾數，相信大家都知道這一點，但是精度怎么算我也是迷糊了好久，最近在不斷嘗試的過程中漸漸的明白了，首先是在不考慮指數的情況下23位尾數能表示的范圍是[0, ​2²³− 1],實際上尾數位前面還隱含了一個"1"，所以應該是一共24位數字，所能表示的范圍是[0, ​2²⁴​-1](因為隱含位默認是"1"，所以表示的數最小是1不是0，但是先不考慮0，后面會特殊介紹，這里只按一般值計算），看到這里我們知道這24位能表示的最大數字為 ​2²⁴​-1，換算成10進制就是16777215，那么[0, 16777215]都是能精確表示的，因為他們都能寫成1.b x​2^c的形式，只要配合調整指數c就可以了。

16777215 這個數字可以寫成1.1111111 11111111 1111111 *​ 2²³，所以這個數可以精確表示，然后考慮更大的數16777216，因為正好是2的整數次冪，可以表示1.0000000 00000000 00000000 *​ 2²⁴，所以這個數也可以精確表示，在考慮更大的數字16777217，這個數字如果寫成上面的表示方法應該是 1.0000000 00000000 00000000 1 *​ 2²⁴，但是這時你會發現，小數點后尾數位已經是24位了，23位的存儲空間已經無法精確存儲，這時浮點數的精度問題也就是出現了。

　　看到這里發現 16777216 貌似是一個邊界，超過這個數的數字開始不能精確表示了，那是不是所有大於16777216的數字都不能精確表示了呢？其實不是的，比如數字 33554432 就可以就可以精確表示成1.0000000 00000000 00000000 *​ 2²⁵，說道這里結合上面提到的float的內存表示方式，我們可以得出大於 16777216 的數字（不超上限），只要可以表示成小於24個2的n次冪相加，並且每個n之間的差值小於24就能夠精確表示。換句話來說所有大於 16777216 的合理數字，都是[0, 16777215]范圍內的精確數字通過乘以​得到的，同理所有小於1的正數，也都是 [0, 16777215] 范圍內的精確數字通過乘以​得到的，只不過n取負數就可以了。

　　16777216 已經被證實是一個邊界，小於這個數的整數都可以精確表示，表示成科學技術法就是1.6777216 *10⁷ ​,從這里可以看出一共8位有效數字，由於最高位最大為1不能保證所有情況，所以最少能保證7位有效數字是准確的，這也就是常說float類型數據的精度。

float小數

　　從上面的分析我們已經知道，float可表示超過16777216范圍的數字是跳躍的，同時float所能表示的小數也都是跳躍的，這些小數也必須能寫成2的n次冪相加才可以，比如0.5、0.25、0.125…以及這些數字的和，像5.2這樣的數字使用float類型是沒辦法精確存儲的，5.2的二進制表示為101.0011001100110011001100110011……最后的0011無限循環下去，但是float最多能存儲23位尾數，那么計算機存儲的5.2應該是101.001100110011001100110，也就是數字 5.19999980926513671875，計算機使用這個最接近5.2的數來表示5.2。關於小數的精度與剛才的分析是一致的，當第8位有效數字發生變化時，float可能已經無法察覺到這種變化了。

float特殊值

　　我們知道float存儲浮點數的形式是(±)1.b x 2^c ​，因為尾數位前面一直是個1，所以無論b和c取什么樣的值，都無法得到0，所以在float的表示方法中有一些特殊的約定，用來表示0已經其他的情況。

　　float的內存表示指數位數有8位，范圍是[0, 255]，考慮偏移量實際的指數范圍是[-127,128]，但實際情況下指數位表示一般數字時不允許同時取0或者同時取1，也就是指數位的實際范圍是[-126,127]，而指數取-127和128時有其特殊含義，具體看下面表格：

符號位	指數位	尾數位	數值	含義
0	全為0	全為0	+0	正數0
1	全為0	全為0	-0	負數0
0	全為0	任意取值f	0.f∗2-126​	非標准值，尾數前改為0，提高了精度
1	全為0	任意取值f	0.f∗2-126​	非標准值，尾數前改為0，提高了精度
0	全為1	全為0	+Infinity	正無窮大
1	全為1	全為0	-Infinity	負無窮大
0/1	全為1	不全為0	NaN	非數字，用來表示一些特殊情況

總結

1. float的精度是保證至少7位有效數字是准確的

2. float的取值范圍[-3.4028235E38, 3.4028235E38]，精確范圍是[-340282346638528859811704183484516925440, 340282346638528859811704183484516925440]

3. 一個簡單的測試float精度方法，C++代碼中將數字賦值給float變量，如果給出警告warning C4305: “=”: 從“int”到“float”截斷，則超出了float的精度范圍，在我的測試中賦值為16777216及以下整數沒有警告，賦值為16777217時給出了警告。

 

PS:引用了一些csdn的，覺得有用就點個贊吧！