本文轉自：科學網—平均場方法及其它 - 周達的博文
對一篇博士論文里所用理論的了解
百度百科了解：
平均場理論（Mean Field Theory, MFT）是將隨機過程模型中一個單體受到的所有影響近似為一個外部場（external field），從而將多體問題（many-body problem）分解為多個單體問題（one-body problem）進行求解的范式和理論。
平均場理論，是把環境對物體的作用進行集體處理，以平均作用效果替代單個作用效果的加和的方法。這一方法，能簡化對復雜問題的研究，把一個高次、多維的難以求解的問題轉化為一個低維問題，相當於把環境對研究對象的影響進行積分后再與研究對象發生作用，多用於運動狀態混亂的氣體，以及結構復雜的固體、液體的研究中，並構成了能帶論、現代固體理論、量子多體理論等理論的重要的基礎。盡管平均場理論帶來了研究的便利，但是由於積分過程會掩蓋掉環境中個別影響因素的漲落，因此在非平衡過程，強關聯系統，以及瞬態過程中，平均場理論會帶來巨大的誤差。
知乎get：如何向非物理專業的學生解釋「平均場理論」？ - 知乎 (zhihu.com)
用通俗的語言解釋一下，
假設有一個很大很大的教師，里面坐着很多很多的學生,然后這些學生都在晨讀,你是這些學生中的某一位。你聽到的聲音是所有學生發出的聲音到你這個位置的疊加,顯然這個求和很復雜，因為你的聽覺感受與聲源到你的距離有關。為了簡化這個求和,我們把這所有學生的聲音在你這個位置產生的效果看作噪音。
如果這個教室真的足夠大（衡水中學的教室挺大的）,大到我們可以忽略邊界效應。現在,換一個場景,如果所有學生依然保持戰斗隊形(繼續晨讀),你現在是一位老師，在教室里巡視。然后無論你走到哪里，你的聽覺感受是樣一樣的。這個噪音在任何位置都一樣，無論你往前走一步還是往右走一步都—樣,這就是平移不變性。這個時候,噪音和一個均勻外場產生的效果一樣,這個噪音就是平均場
平均場是物理，特別是統計物理中非常重要的一種理論分析方法。有意思的是，幾乎學統計物理的老師同學都知道平均場的適用條件是嚴格甚至苛刻的，歷史上也有著名的科學案例（諸如Ising模型的相變問題）明確警示了濫用平均場方法的不良后果，但大家就是難以割舍這種好方法。特別在復雜網絡的研究中，絕大部分的理論分析都是采用了平均場的方法。
討論平均場，真實的反映了物理學家和數學家之間學術標准的差異。數學上說，平均場的適用范圍只能是完全圖，或者說系統結構是well-mixed，在這種情況下，系統中的任何一個個體以等可能接觸其他個體。所以，對於明確的不滿足完全圖情況的問題，數學家只能去想其它辦法，哪怕是“四處碰壁，舉步維艱”，數學家始終堅守數學的嚴格性。反觀物理，平均場與其說是一種方法， 不如說是一種思想。其實統計物理的研究目的就是期望對宏觀的熱力學現象給予合理的微觀理論。較為一致的認識是：系統中個體的局部相互作用可以產生宏觀層面較為穩定的行為。所以，物理學家堅信，即便不滿足完全圖的假設，但既然這種“局部”到“整體”的作用得以實現，那么個體之間的局部作用相較於“全局”的作用是可以忽略不計的。這或許就是物理學家不輕易否定平均場的根據。更重要的，恐怕還是平均場方法便於使用。基本上，熟悉常微分方程的人都具備掌握平均場方法的能力。這也降低了分析的門檻。某種程度上，是一件好事。而且，實驗也證明，很多時候，這種方法得出的結果跟實際也匹配。
其實復雜網絡，抽象來看，就是一大類特殊的圖。而且，肯定不是完全圖。早在復雜網絡興起之前，理論科學界就知道“空間結構”對於系統動力學行為的影響。最典型的，比如格點圖上的Ising模型，也正是對於二維Ising模型相變問題的研究，平均場這種方法才露出明顯的破綻。那時，是一種叫重整化群的方法，圓滿的回答了二維Ising模型的相變問題。可以想象，那種方法的技巧是很強的，或許也是因為此，這種方法並未被廣泛使用。還有一類典型的例子，就是生態學中討論物種演化的時候，很多生物數學家很早就在討論空間結構的問題。推薦Durrett教授和Levin教授合寫的文章The importance of being discrete。google一下就出來了。
剛才講到平均場，從數學上對應常微分方程。如果您已經意識到平均場的局限性，那么我們是否有更合理的建模方法？答案當然是有的。我知道的比較重要的有兩大類：第一類是叫做反應擴散方程(reaction-diffusion equations)，另一類叫做相互作用粒子系統(interacting particle systems)。其中，反應擴散方程是利用偏微分方程的辦法，討論連續時間、連續狀態情形的動力學問題。很多時候，學者就直接在原有的平均場方程基礎上，加上一個laplcae算子，改裝后的方程就是加入了“spatial effects”的反應擴散方程。至於粒子系統，它跟反應擴散方程最大的區別在於，它討論離散隨機模型。簡單說，就是系統中有很多相互關聯的粒子，粒子狀態的演化受到了周圍粒子狀態的影響。所以，粒子系統跟cellular automata的本質是類似的。
當然，這里說得天花亂墜，必須提醒大家的是這兩種建模的方法，其數學分析上的難度是大大超出平均場方程的。數學上，偏微分方程的分析和求解歷來是研究的重點和難點；而粒子系統，因為我專業的原因，深知其研究的難度。我導師的導師，UCLA的Liggett教授，是這個領域的權威之一，他的著作interacting particle systems被譽為該領域的“聖經”，如果大家有興趣，可以看一看。只不過閱讀的難度很大。我本人只有幸堅持讀了前三章。
所以，在討論空間結構的時候，其實是有辦法把工作做得精細一些。只不過，天下沒有免費的午餐，好的建模方法隨之帶來分析上的難度。雖然，我個人從專業背景角度，是期望平均場不被濫用的，但從心底還是願意承認這種方法的價值。並且，就實際問題而言，平均場的假設不僅是沒有辦法的辦法，更是一種智慧。比如，我相信在微觀粒子層面，大量粒子雜亂的無規則運動，還有比平均場更好的假設嗎？關乎這種觀測局限的問題，恐怕目前沒有更好的辦法。
找到一本書籍介紹的：
《復雜系統與復雜網絡》
花了2塊買了一本，附上：
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