正規算子的譜


參考書:F. R. Gantmacher 《The Theory of Matrices》Vol. 1

1. 伴隨算子(adjoint operator)

我把伴隨算子記作 \(A^\dagger\),因為它對應着量子力學書里的厄米算子:

\[(A \vec{x}, \vec{y} ) = ( \vec{x}, A^\dagger \vec{y}), \]

顯然,\(A\) 的伴隨算子的矩陣表示,就是矩陣 \(A\) 的幺正矩陣 \(A^\dagger\)

1.1 如果線性空間 \(S\)\(A\) 的不變子空間,那么 \(S\) 的補空間 \(T\) 一定是 \(A^\dagger\) 的不變子空間。

\(\forall \vec{x} \in S, \vec{y} \in T\),都有 \(A \vec{x} \in S\),即

\[( \vec{y}, A \vec{x} ) = 0, \]

\[(\vec{y}, A\vec{x}) = ( A^\dagger \vec{y}, \vec{x} ) =0, \]

\(A^\dagger \vec{y} \notin S\),即 \(A^\dagger \vec{y} \in T\),即 \(T\)\(A^\dagger\) 的不變子空間。

2. 正規算子(normal operator)

正規算子即滿足 \(A A^\dagger = A^\dagger A\) 的算子 \(A\),顯然,厄米算符、幺正算符都是正規算子。

2.1 對易的算子一定有共同本征矢

任意兩個對易的算子都一定有共同的本征矢。教材思路是通過不變子空間來論證。
\(AB = BA\),且 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}\),則有

\[AB^k \vec{x} = B^kA\vec{x}. \]

所以一定存在 \(A\) 的不變子空間 \(\{ \vec{x}, B\vec{x}, \cdots, B^{p-1} \vec{x} \}\)\(B^{p}\vec{x}\)是這些矢量的線性表達。
顯然這個不變子空間也是 \(B\) 的不變子空間,所以(?)其中一定存在 \(B\) 的特征矢量 \(\vec{y}\),它也是 \(A\) 的特征矢量,

\[A \vec{y} = \lambda \vec{y}. \]

2.2 正規算子 \(A\) 一定與 \(A^\dagger\) 有共同的本征矢,且相應的本征值互為復共軛。

  • 因為 \(A\)\(A^\dagger\) 對易,所以它們一定有共同本征矢,設為 \(\vec{x}\),設有 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A^\dagger \vec{x} = \mu \vec{x}\),則有\((\vec{x}, A\vec{x}) = \lambda = (A^\dagger \vec{x}, \vec{x}) = (\vec{x}, A^\dagger \vec{x})^* = \mu^*\)
  • 用這個共同本征矢如上述構造不變子空間\(S = \{ \vec{x}, A\vec{x}, \cdots \}\),它是 \(A, A^\dagger\) 的共同不變子空間,根據1.1的論證,\(S\) 的補集 \(T\) 也同時是 \(A, A^\dagger\) 的不變子空間,因為是不變子空間,所以一定存在 \(A\) 的一個特征矢量,如2.1論證,拿着這個向量構造 \(A,A^\dagger\)\(T\) 中的不變子空間,又可以得到 \(A,A^\dagger\) 的共同本征矢。
  • 如此迭代,一定可以窮盡這個線性空間,得到 \(A, A^\dagger\) 的共同的正交歸一本征矢,本征值互為復共軛。

2.3 正規算子的不同本征值對應的本征向量一定互相正交

假如有 \(A\vec{x} = \lambda \vec{x}, A\vec{y} = \mu \vec{y}, \lambda \neq \mu\),則有

\[(\vec{y}, A\vec{x}) = \lambda (\vec{y}, \vec{x}) = (A^\dagger \vec{y}, \vec{x}) = \mu (\vec{y}, \vec{x}), \]

所以有 \((\mu - \lambda)(\vec{y}, \vec{x}) = 0\),即 \((\vec{y}, \vec{x]}) = 0\),得證。

2.4 如果一個算子\(A\)有完整的特征向量,則一定是正規算子

\(A\vec{x}_k = \lambda_k \vec{x}_k, (\vec{x}_i, \vec{x}_k) = \delta_{ik}\),假設

\[\vec{y}_l = A^\dagger \vec{x}_l - \bar{\lambda}_l \vec{x}_l, \]

\[\forall k, (\vec{y}_l, \vec{x}_k) = (\vec{x}_l, A \vec{x}_k) - \lambda_l (\vec{x}_l, \vec{x}_k) = (\lambda_k - \lambda_l)\delta_{kl} = 0. \]

因為 \(\vec{x}_k\) 窮盡整個線性空間,所以可以斷定 \(\vec{y}_l = 0, A^\dagger \vec{x}_l = \bar{\lambda}_l \vec{x}_l\)
那么,對線性空間中的任意矢量 \(\vec{p} = \sum_k c_k \vec{x}_k\), 有

\[A A^\dagger \vec{p} = \sum_k c_k | \lambda_k |^2 \vec{x}_k = A^\dagger A \vec{p}, \]

所以 \(AA^\dagger = A^\dagger A\)\(A\) 是正規算子。

話說,存在沒有完整特征向量的算子嗎?

3. 歐幾里得空間中的線性算子

  • 在歐幾里得空間\(R\)中,可以定義轉置算子\(A^\top\), s.t. \(\forall \vec{x}, \vec{y}, (A\vec{x}, \vec{y} ) = (\vec{x}, A^\top \vec{y})\)
  • 然后,在此基礎上定義正規算子:\(A A^\top = A^\top A\)
  • 對稱算子: \(A^\top = A\);反對稱算子:\(A^\top = -A\)
  • 還可以定義正交算子:\(Q^\top Q = E\)
  • 顯然,對稱、反對稱、正交算子都是正規算子

3.1 歐幾里得空間中的線性算子在復數矢量空間中的譜

問題:復數矢量空間 \(\vec{z} = \vec{x} + \vec{y}\) 的維數也是 \(n\) 嗎?(未回答)

實數矩陣的特征方程 \(P_n(\lambda)=0\) 系數都是實數,若存在 \(\lambda_k\) 使得 \(P_n(\lambda_k) = 0\),則必有 \(\bar{P}_n(\lambda_k) = P_n(\bar{\lambda_n}) = 0\),所以實數矩陣的特征值一定要么是實數,要么是成對出現的互為共軛的復數:

\[\{ \cdots, \mu_k + i\nu_k, \mu - i \nu_k, \cdots, \mu_l, \cdots \},~~ k = 1,2,\cdots,q;~~ l=2q+1,\cdots, n \]

\(A \vec{z} = \lambda \vec{z}\),則 \(A \vec{\bar{z}} = \bar{\lambda} \vec{ \bar{z}}\),所以特征值也是復共軛成對出現。

\[\vec{z}_{2k-1} = \vec{x}_k + i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k-1} = (\mu_k + i \nu_k) \vec{z}_{2k-1}; \\ \vec{z}_{2k} = \vec{x}_k - i \vec{y}_k, ~~ A\vec{z}_{2k} = (\mu_k - i \nu_k) \vec{z}_{2k}. \]

推得

\[A \vec{x}_k = \mu_k \vec{x}_k - \nu_k \vec{y}_k, ~~ A\vec{y}_k = \nu_k \vec{x}_k + \mu_k \vec{y}_k, ~~ k = 1,2,\cdots,q \]

如果定義矢量內積為

\[(\vec{z}, \vec{w}) = \overline{\vec{z}} \cdot \vec{w} = (\vec{x} - i \vec{y}) \cdot ( \vec{u} + i \vec{v} ) = (\vec{x}\cdot\vec{u} + \vec{y}\cdot \vec{v}) +i ( \vec{x}\cdot \vec{v} - \vec{y} \cdot \vec{u} ). \]

GantMacher 定義的是 \((\vec{z}, \vec{w}) = \vec{z} \cdot \overline{ \vec{w} }\),但這個差別不應該影響任何重要結論,我寫上面的約定是因為習慣了這種內積定義式。

3.2 歐幾里得空間中的正規算子

\(R\) 空間中的正規算子 \(A\)\(A^\top A = A A^\top\),類似於 #2 中的論證可以得到,正規算子 \(A\)\(A^\top\) 有共同的本征矢,互為共軛的本征值。根據 2.3 中的推斷,\(\{ \vec{z}_1, \vec{z}_2, \cdots, \vec{z}_{2q-1}, \vec{z}_{2q}, \vec{x}_{2q+1}, \cdots, \vec{x}_{n} \}\) 兩兩正交,所以歸一化以后是一個正交歸一基。
\(\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}\)正交,即

\[(\vec{z}_{2k-1}, \vec{z}_{2k}) = \vec{x}_k \cdot \vec{x}_k - \vec{y}_k \cdot \vec{y}_k - i ( \vec{y}_k \cdot \vec{x}_k + \vec{x}_k \cdot \vec{y}_k ) = 0, \]

得到結論:\(\vec{x}_k, \vec{y}_k\) 正交歸一。
所以,\(\{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} \}\)也是正交歸一基。用這些正交歸一基構造矩陣

\[Q = [ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \cdots, \vec{x}_{q}, \vec{y}_{q}, \vec{x}_{2q+1}, \vec{x}_{2q+2}, \cdots, \vec{x}_{n} ], \]

則有

\[Q^\top A Q = \{ [\begin{smallmatrix} \mu_1 & \nu_1 \\ -\nu_1 & \mu_1 \end{smallmatrix}], ..., [\begin{smallmatrix} \mu_q & \nu_q \\ -\nu_q & \mu_q \end{smallmatrix}], \mu_{2q+1}, \cdots, \mu_n \}, \]

這叫做正則形式(canonical form)。

3.3 對稱算子、反對稱算子

歐幾里得空間 \(R\) 中的對稱算子在拓展的 \(\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}\) 中是厄米算子,所以所有本征值都是實數,\(\nu_k = 0\),所以能通過正交變換得到對角陣。
歐幾里得空間 \(R\) 中的反對稱算子乘以 \(i\) 以后是對稱算子,在拓展的 \(\tilde{R} = \vec{x} + i \vec{y}\) 中是厄米算子,所以所有本征值都是實數,所以反對稱算子的所有本征值都是純虛數,\(\mu_k = 0\),所以能通過正交變換得到正則反對稱陣。
后面有一段特別漂亮,是利用這些代數結論,說明歐拉-達朗貝爾定理:三維空間中任何一個定點有限轉動都是繞某個軸的一個定軸轉動。但是我懶得打了,下次有興趣再來整理。

根據上面這些關於歐幾里得空間正規算子的討論,結合前面關於對易算子、正規算子的譜的討論,可以得到一個相當清晰的結論:在歐幾里得空間中,若有一些(任意多,畢竟線性無關的維數 \(\leq n^2\))正規算子兩兩對易,則它們都有共同的正交歸一實數本征矢,在這些矢量構成的正交變換下,全部變換為正則形式。


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