Given a rectangle of size n x m, return the minimum number of integer-sided squares that tile the rectangle.
Example 1:
Input: n = 2, m = 3
Output: 3
Explanation: `3` squares are necessary to cover the rectangle.
`2` (squares of `1x1`)
`1` (square of `2x2`)
Example 2:
Input: n = 5, m = 8
Output: 5
Example 3:
Input: n = 11, m = 13
Output: 6
Constraints:
1 <= n, m <= 13
這道題給了一個 n by m 大小的矩形，問最少可以用多少個正方形填滿這個矩形。有點像小時候玩的拼圖游戲，用大小不同正方形來拼出一個大的矩形。為了方便分析，這里始終認為n小於等於m，若給定的n大於m，直接調換一下也不影響最終結果。現在來考慮一下如何才能拼出 n by m 大小的矩形，可能大家會下意識的先拿出一個 n by n 的矩形占一大塊，然后再拿小矩形去拼 n by (m-n) 的矩形，這種類似貪婪算法的拼法並不能保證全局最優，這種方法在例子1和2中是可以的，但是例子3中就不適用了。由於沒有明確的策略去拼，為了得到全局最優解，只有遍歷所有情況，取其中的最小值。則第一個正方形可選的范圍就是 [1, n]，對於其中任意一個值i來說，相當於左下角先放了個 i by i 的正方形，剩下的部分可以分為兩個矩形，有兩種不同的分法：水平切一刀的話，就分成了 (n-i) by m 的矩形和 i by (m-i) 的矩形；豎直切一刀的話，就分成了 (n-i) by i 的矩形和 n by (m-i) 的矩形，這兩種分法都要分別計算一下，參見簡陋的下圖所示：
m
--------------
|n-i |
n |------------|
| i | m-i |
--------------
m
--------------
|n-i| |
n |---- |
| i | m-i |
--------------
由於分割成的子矩形可以看作是一個子問題的重現，所以這道題用遞歸來做是非常合適的，同時為了避免大量的重復計算，應該使用記憶數組來保存計算過的值，其中 memo[i][j] 就表示 i by j 的矩形可以用最少的正方形拼出的個數。上面這種分割方法並不能包含所有的情況，比如例子3就無法通過這種方法得到。所以還有一種拼法，是同時在左下角和右上角各放一個正方形，然后再去拼剩余的部分，左下角的正方形邊長為i，范圍是 [1, n]，右上角的正方形邊長為j，范圍是 [n-i+1, min(m-i, n)]。這里可能會有童鞋有疑問，為啥右上角的正方形邊長要從 n-i+1 開始，而不是從1開始呢？這是個好問題，因為這里需要 i+j 大於n，只有這樣才能區別於上面兩種拼法，否則的話，這種分割方法其實還是包括在前兩種分割方法里面的。
當這兩個邊角正方形大小確定了之后，剩余的部分可能需要分成三個矩形，就像例子3中所示一樣，中間還有個迷你矩形，其長寬需要特別計算一下，是個 (i+j-n) by (m-i-j) 的矩形，然后剩下的兩個矩形大小分別為 (n-i) by (m-j) 和 (n-j) by (m-i)。這些都理清了之后，代碼應該也就不難寫了。主要來看遞歸函數的寫法吧，首先判斷n和m的大小，若n大於m，則交換兩個參數。若n等於0，直接返回0，若n等於m，本身就是個正方形，返回1，若n等於1，則只能用 1 by 1 的正方形來拼，返回m，若 memo[n][m] 值大於0，說明當前情況已經計算過了，直接返回 memo[n][m]。否則開始正式計算，初始化結果 res 為整型最大值，然后遍歷左下角先拼的正方的邊長，之前說了，范圍是 [1, n]，然后先計算分成兩個矩形的兩種情況，分別調用遞歸，並更新結果 res。然后就是計算右上角再放正方形的情況，其邊長范圍是 [n-i+1, min(m-i, n)]，之前也分析過了，然后對分割出的三個小矩形分別調用遞歸，並用結果來更新 res 即可，參見代碼如下：
class Solution {
public:
int tilingRectangle(int n, int m) {
if (n > m) return tilingRectangle(m, n);
vector<vector<int>> memo(n + 1, vector<int>(m + 1));
return helper(n, m, memo);
}
int helper(int n, int m, vector<vector<int>>& memo) {
if (n > m) return helper(m, n, memo);
if (n == 0) return 0;
if (n == m) return 1;
if (n == 1) return m;
if (memo[n][m] > 0) return memo[n][m];
int res = INT_MAX;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
res = min(res, 1 + helper(n - i, m, memo) + helper(i, m - i, memo));
res = min(res, 1 + helper(n, m - i, memo) + helper(n - i, i, memo));
for (int j = n - i + 1; j < m - i && j < n; ++j) {
res = min(res, 2 + helper(n - i, m - j, memo) + helper(i + j - n, m - i - j, memo) + helper(n - j, m - i, memo));
}
}
return memo[n][m] = res;
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1240
參考資料：
https://leetcode.com/problems/tiling-a-rectangle-with-the-fewest-squares/