LeetCode 筆記系列 18 Maximal Rectangle [學以致用]

題目： Given a 2D binary matrix filled with 0's and 1's, find the largest rectangle containing all ones and return its area.

leetcode的題目真是越來越經典了。比如這個題目，就是一道男默女淚的題。

一般人拿到這個題目，除非做過類似的，很難一眼找出一個方法來，更別說找一個比較優化的方法了。

首先一個難點就是，你怎么判斷某個區域就是一個矩形呢？

其次，以何種方式來遍歷這個2D的matrix呢？

一般來說，對這種“棋盤式”的題目，像什么Queen啦，象棋啦，數獨啦，如果沒有比較明顯的遍歷方式，可以采用一行一行地遍歷。（好像廢話哦。。。）

然后，當遍歷到(i, j)的時候，該做什么樣的事情呢？想想，嗯，那我可不可以簡單看看，以(i,j)為矩形左上角，能不能形成一個矩形，能不能形成多個矩形？那形成的矩形中，我們能不能找一個最大的呢？（有同學問，為毛你要以這個點為左上角，不為左下角，或者其他腳哩？因為我們打算從左到右，從上到下一行一行遍歷嘛，這樣就不會漏掉，說不定還能做一些優化）

首先，如果(i, j)是0，那肯定沒法是矩形了。

如果是1，那么我們怎么找以它為左上角的矩形呢？呼喚畫面感！

。。。你TM在逗我？==b

圖中圈圈表示左上角的1，那么矩形的可能性是。。。太多啦，怎么數嘛！

我們可以試探地從左上角的1所在的列開始，往下數數，然后呢，比如在第一行，例如是藍色的那個矩形，我們看看在列上，它延伸了多遠，這個面積是可以算出來的。

然后繼續，第二行，例如是那個紅色的矩形，再看它延伸到多遠，哦，我們知道，比第一行近一些，我們也可以用當前離第一行的行數，乘以延伸的距離，得到當前行表示的矩形面積。

但是到了第一個虛線的地方，它遠遠超過了上面的其他所有行延伸的距離了，注意它的上方都是空心的哦，所以，我們遇到這種情況，計算當前行和左上角1圍成的面積的時候，只能取所有前面最小的延伸距離乘以當前離第一行的行數。其實，這對所有情況都是這樣的，是吧？於是，我們不是就有方法遍歷這些所有的矩形了嘛。

代碼如下：

    /**
     * 以給出的坐標作為左上角，計算其中的最大矩形面積
     * @param matrix
     * @param row 給出坐標的行
     * @param col 給出坐標的列
     * @return 返回最大矩形的面積
     */
    private int maxRectangle(char[][] matrix, int row, int col) {
        int minWidth = Integer.MAX_VALUE;
        int maxArea = 0;
        for (int i = row; i < matrix.length && matrix[i][col] == '1'; i++) {
            int width = 0;
            while (col + width < matrix[row].length
                    && matrix[i][col + width] == '1') {
                width++;
            }
            if (width < minWidth) {// 如果當前寬度小於了以前的最小寬度，更新它，為下面的矩形計算做准備
                minWidth = width;
            }
            int area = minWidth * (i - row + 1);
            if (area > maxArea)
                maxArea = area;
        }
        return maxArea;
    }

這樣，我們再對每個點都調用一下上面的這個方法，不是就能求出最大面積了么。

解法一：

public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        // Start typing your Java solution below
        // DO NOT write main() function
        int m = matrix.length;
        int n = m == 0 ? 0 : matrix[0].length;
        int maxArea = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){//row
            for(int j = 0; j < n; j++){//col
                if(matrix[i][j] == '1'){
                    int area = maxRectangle(matrix, i, j);
                    if(area > maxArea) maxArea = area;
                }
            }
        }
        return maxArea;
     }

這個需要O(n³)，所以沒有通過大集合的測試。

leetcode的討論組給出了一個比較難理解的方法，這里就不采用了。

說說第三個方法。前一個筆記，我們討論了柱狀圖的最大矩形面積，那可以O(n)的，學以致用呀！btw，leetcode的這兩題也是挨一塊兒的，用心良苦。。。。

如果我們把每一行看成x坐標，那高度就是從那一行開始往上數的1的個數。帶入我們的maxAreaInHist方法，在O(n²)時間內就可以求出每一行形成的“柱狀圖”的最大矩形面積了。它們之中最大的，就是我們要的答案。

代碼如下：

public int maximalRectangle2(char[][] matrix) {
        int m = matrix.length;
        int n = m == 0 ? 0 : matrix[0].length;
        int[][] height = new int[m][n + 1];
        //actually we know that height can just be a int[n+1], 
        //however, in that case, we have to write the 2 parts together in row traverse,
        //which, leetcode just doesn't make you pass big set
        //所以啊，leetcode是喜歡分開寫循環的，即使時間復雜度一樣，即使可以節約空間
        int maxArea = 0;
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if(matrix[i][j] == '0'){
                    height[i][j] = 0;
                }else {
                    height[i][j] = i == 0 ? 1 : height[i - 1][j] + 1;
                }
            }
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            int area = maxAreaInHist(height[i]);
            if(area > maxArea){
                maxArea = area;
            }
        }
        return maxArea;
     }
     
     private int maxAreaInHist(int[] height){
         Stack<Integer> stack = new Stack<Integer>();
         int i = 0;
         int maxArea = 0;
         while(i < height.length){
             if(stack.isEmpty() || height[stack.peek()] <= height[i]){
                 stack.push(i++);
             }else {
                 int t = stack.pop();
                 maxArea = Math.max(maxArea, height[t] * (stack.isEmpty() ? i : i - stack.peek() - 1));
             }
         }
         return maxArea;
     }

這里有一個和leetcode相關的細節。就是本來在計算height數組的時候，我們沒有必要分配成代碼中的那個樣子，一維就可以了，然后在遍歷每一行的時候計算當前行的height數組，然后再計算maxArea。這種情況下還是過不了大集合，所以不得不為每一行都保存一個height，先期計算該二維數組。

總結：

1. 學到的新知識要用；

2. 畫面感和邏輯分析都很重要，不可偏非。