Leetcode#84 Largest Rectangle in Histogram

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有兩種方法，左右掃描或輔助棧。

方法I： 左右掃描法
考慮到最大面積的矩形高度一定跟某個條一樣高，所以挨個枚舉每個條，看其向左、向右最多能延伸到多遠。在計算左右邊界時，可以借助之前計算過的結果迭代（類似動歸的感覺）優化以減少時間復雜度，這應該算是唯一的難點了。總的來說，向左一遍，向右一遍，整體求面積再一遍，一共需要3次遍歷，時間復雜度是O(n)。

左右掃描法非常直觀。

代碼：

    int largestRectangleArea(vector<int> &height) {
        if (height.empty()) return 0;

        int n = height.size();
        int maxArea = 0;
        int *left = new int[n]; // 向左能延伸多遠
        int *right = new int[n]; // 向右能延伸多遠

        // 向右延伸
        right[n - 1] = 1;
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            if (height[i] > height[i + 1])
                right[i] = 1;
            else {
                int j = i + 1;
                while (j < n && height[j] >= height[i])
                    j += right[j];
                right[i] = j - i;
            }
        }

        // 向左延伸
        left[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (height[i] < height[i - 1])
                left[i] = 1;
            else {
                int j = i - 1;
                while (j >= 0 && height[j] >= height[i])
                    j -= left[j];
                left[i] = i - j;
            }
        }

        // 求面積
        maxArea = height[0];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            maxArea = max(height[i] * (left[i] + right[i] - 1), maxArea);
        }

        return maxArea;
    }

 

 

方法II： 輔助棧法（網上很多人采用的方法）

根本思想是：依次遍歷所有矩形條，嘗試計算以該矩形條為高度的矩形面積。但是在遍歷的時候我們不知道后面還有什么樣的矩形條怎么辦？沒關系，對於沒法確定面積的矩形，壓棧，留着以后處理，而對於那些已經可以確定計算出面積的矩形條，留着也沒用，彈棧。

如果我們能知道一個矩形條向左向右最遠能延伸多遠，我們就能計算出以該矩形條為高的矩形面積了！我們怎么知道向左向右能延伸多遠？觀察下面幾種情況：

情況1，第i個矩形比右邊相鄰的第i+1個矩形高，如下圖所示。意味着，以height[i]為高的矩形的右邊界就是第i個矩形，因為右邊界不能更右了（廢話），也不會在左邊（向左只會讓矩形面積減小）。所以在這種情況下，我們可以立即確定以第i個矩形的高度height[i]為高度的最大矩形面積的右邊界。

情況2，第i個矩形比左邊相鄰的第i-1個矩形高，如下圖所示。意味着，以height[i]為高的矩形的左邊界就是第i個矩形，因為左邊界不能更左了（廢話），也不會出現在右邊（因為向右只會另矩形面積減小）。所以在這種情況下，我們立即就可以確定以第i個矩形的高度height[i]為高度的最大舉行面積的左邊界。

現在，我們依次遍歷各個矩形條，遍歷過的矩形條壓入棧中保存，則不難發現下面的現象：

如果當前矩形條的高度高於棧頂的矩形條的高度，對應上面的情況2，我們可以立即得出，當前矩形一定是以它為高的矩形的左邊界。那么現在我們還不能確定其右邊界，所以除了入棧什么都不用做，如下圖所示：

如果當前矩形條的高度小於或等於棧頂矩形條的高度，對應上面的情況1，我們可以立即得出：棧頂的矩形一定是以它為高的矩形的右邊界所以，我們可以立刻得到以棧頂的矩形條高度為高度的最大矩形的面積（下圖中帶顏色的兩個矩形）！既然我們算出了前一個條最大矩形的面積，那么也就沒必要再留着它了。所以，可以放心把它刪掉，或者說合並。

 

按照上述操作遍歷完所有矩形條之后，棧中的矩形一定是下面這個樣子。（棧里面所有的條肯定是按照高度依次遞增的）

此時，對於任何一個矩形條，我們可以確定，它的右邊界一定是整個棧里所保留的條形圖的最右邊界，而它的左邊界一定是它這個條自己的左邊界，所以，剩余的矩形條也可以立即算出其對應的最大矩形的面積。

其實，只需要在所有的矩形條最后添加一個高度為0的虛擬矩形條，可以省略上面的兩小步。這個虛擬矩形條起收割作用。（見代碼第2行）

顯然時間復雜度是O(n)。

 

具體代碼實現有兩個技巧：

1. 我們只需要在輔助棧保存矩形的右邊界坐標即可，不需要保存高度，因為可以通過右邊界坐標得到（height[i] ），也不需要保存左邊界坐標，因為上一個矩形的右邊界坐標+1就是當前矩形的左邊界。

2. 在直方圖最后添加一個高度為0的虛擬矩形條，這樣保證一次遍歷之后棧里面的矩形都被正確處理過了，否則需要再重復一遍。

代碼：

    int largestRectangleArea(vector<int> &height) {
        height.push_back(0); // 添加虛擬矩形條
        stack<int> st;
        int n = height.size();
        int maxArea = 0;
        int h, w;

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (st.empty() || height[st.top()] < height[i])
                st.push(i);
            else {
                while (!st.empty() && height[i] <= height[st.top()]) {
                    h = height[st.top()];
                    st.pop();
                    w = st.empty() ? i : i - (st.top() + 1);
                    maxArea = max(maxArea, h * w);
                }
                st.push(i);
            }
        }

        return maxArea;
    }