前言
當我們借助導數工具研究函數的單調性、極值、最值時，難在解導函數不等式，此時如果能靈活而恰當的使用函數的圖像時，就可以輕松的判斷導函數的正負了。
使用步驟
- 當題目給定函數[數字系數，不含有參數]后，用導數法求數字系數的函數極值的步驟：
①確定函數的定義域；
②求導數\(f'(x)\)；
③解方程\(f'(x)＝0\)，求出在函數定義域內的所有根；
④解導函數不等式\(f'(x)>0\)或\(f'(x)<0\)，此時若不等式不好解，可以借助導函數的圖像，通過解讀圖像得到解集；
⑤列表檢驗\(f'(x)\)在\(f'(x)＝0\)的根\(x_0\)左右兩側值的符號．
⑥由表格得到極值和極值點；
補充：當函數中含有參數時，用導數法求字母系數的函數極值的步驟：
需要分類討論；每一種情形都對應上述的求解步驟；
案例解析
(1)若曲線 \(y=f(x)\) 在點 \((1, f(1))\) 處的切線與直線 \(y=1\) 平行， 求 \(a\) 的值；
解：因為\(f(x)=\cfrac{ax^{2}+(4a-2)x+4a-6}{{e}^{x}}\)，
所以 \(f'(x)=\cfrac{(2ax+4a-2){e}^{x}-\left[ax^{2}+(4a-2)x+4a-6\right]{e}^{x}}{{e}^{2x}}\)
\(=\cfrac{-ax^2-(2a-2)x+4}{e^x}=-\cfrac{ax^2+(2a-2)x-4}{e^x}\)
\(=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)〖反思〗：求導的實戰中，求導、通分、因式分解等運算往往都是連在一起的。那么為什么要通分呢，由於我們關注導函數的正負，通分后就不需要再關注分母\(x\)，分母為正，對函數模型做減法，將變量集中到分子上，只需要關注分子就行了；為什么要因式分解呢，我們是為了便於看出來兩個零點，便於下一步分類討論； .
由題設知 \(f'(1)=\cfrac{-3(a-2)}{e}=0\)， 解得 \(a=2\) .
又由於此時 \(f(1)=\cfrac{10}{e}\neq 1\)題目告訴函數在點 \((1,f(1))\) 處的切線與直線 \(y=1\) 平行，故需要驗證，以保證不能重合；， 所以 \(a\) 的值為 \(2\) .
(2)若 \(f(x)\) 在 \(x=-2\) 處取得極大值， 求 \(a\) 的取值范圍. [重難點]
解：由上可知，\(f'(x)=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{{e}^{x}}\)到此，我們該如何思考呢，當將着眼點只關注\(y\)\(=\)\(-\)\((ax-2)\)\(\cdot\)\((x+2)\)時，發現其為仿二次函數，故需要針對二次項系數分類討論，因為只有分類討論才能說清楚導函數的正負；如何分類呢？先分類為\(a=0\)[一次函數]，再分類為\(a>0\)和\(a<0\)[二次函數]，定義域為\(R\)，
① 當\(a=0\)時，分子函數簡化為\(y=2(x+2)\)，
故當\(x\in (-\infty,-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減甚至可以借助更簡化的函數\(y=x+2\)的圖像來判斷導函數的正負，
其中\(x\)軸上方的函數值為正，下方為負；，
\(x\in (-2，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
故函數在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，舍去.
② 當\(a>0\)時，分子函數化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時函數為二次函數，圖像為開口向下的拋物線，
，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，
當\(x\in (-\infty，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，
\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，
故函數在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，舍去.
③當\(-1<a<0\)時這個分類標准是如何來的？當\(a<0\)時，二次函數的兩個零點就有了相等的可能，讓兩個零點\(\cfrac{2}{a}\)\(=\)\(-2\)，解得分界點為\(a\)\(=\)\(-1\)，然后通過解\(\cfrac{2}{a}\)\(<\)\(-2\)得到\(-1\)\(<\)\(a\)\(<0\)，解\(\cfrac{2}{a}\)\(>\)\(-2\)得到\(a\)\(<\)\(-1\)，故接下來應該分類討論以下三種情形：\(-1\)\(<\)\(a\)\(<\)\(0\)，\(a\)\(=\)\(-1\)，\(a\)\(<\)\(-1\)，分子函數化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時函數為二次函數，圖像為開口向上的拋物線，
，且\(\cfrac{2}{a}<-2\)，
當\(x\in (-\infty，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
\(x\in (\cfrac{2}{a}，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞減，
\(x\in (2，+\infty)\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞增，
故函數在\(x=-2\)處取到極小值，不符合題意，舍去.
④當\(a=-1\)時，分子函數化簡為\(y=(x+2)^2\)此時函數為二次函數，圖像為開口向上的拋物線，圖像和\(x\)軸相切，
，且\(\cfrac{2}{a}=-2\)，
當\(x\in (-\infty，+\infty)\)時，\(f'(x)\geqslant0\)，\(f(x)\)單調遞增，
此時函數沒有極值，不符合題意，舍去.
⑤當\(a<-1\)時，分子函數化簡為\(y=-a(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)此時更簡單的函數模型\(y=(x-\cfrac{2}{a})(x+2)\)為二次函數，圖像為開口向上的拋物線，
，且\(\cfrac{2}{a}>-2\)，
當\(x\in (-\infty，-2)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞增，
\(x\in (-2，\cfrac{2}{a})\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調遞減，
\(x\in (\cfrac{2}{a}，+\infty)\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調遞增，
故函數在\(x=-2\)處取到極大值，符合題意，
綜上所述，\(a\)的取值范圍為\((-\infty,-1)\) .
〔解后反思〕：①本題目的難點之一，就是分類討論的原因和分類討論的標准的確定；
②我們能體會到，當恰當使用了圖像后，導函數的正負判斷就變得非常容易，學生也可以自己輕松的寫出來。
③在使用圖像時我們使用了減法，本來應該是做函數\(f'(x)=-\cfrac{(ax-2)(x+2)}{e^x}\)的完整圖像，可是我們手工做不出，鑒於\(e^x>0\)，故我們只要做出\(y=-(ax-2)(x+2)\)的圖像，就可以判斷\(f'(x)\)的正負，從而就能判斷原函數的單調性了。