##bernvig拓撲絕緣體第七章石墨烯

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拓撲絕緣體第七章石墨烯

拓撲絕緣體第七章石墨烯
1.1節六角晶格
1.2節狄拉克費米子
問題：對於擾動，這些狄拉克點是否是穩定的？
1.3節石墨烯的對稱性
1.
2.時間反演
時間反演對稱性對h(k)的要求：
如果系統有TR對稱性，如果已經通過展開哈密頓量得到了K點的哈密頓量，就能直接由（7.10）得到K'點的哈密頓量，而不需要再對K‘點展開計算。即：
只要在K、K'點，哈密頓量有以下特殊的性質，則TR對稱性不能保護狄拉克點
3.空間反演對稱性
4.具有時間反演對稱性、空間反演對稱性的狄拉克點的局域穩定性
1.4節狄拉克點的全局穩定性
1.C3對稱性和狄拉克點的位置
C3對稱性對石墨烯能帶結構的影響
狄拉克點被C3對稱性全局保護
2. C3對稱性的破缺
第5節石墨烯的邊界模邊界模這部分內容書中比較淺，且可能過程有問題，以后應學石墨烯中的電子結構綜述論文中的石墨烯邊界模的內容
1.包含偶數個格點的鏈
2.具有奇數格點的鏈
3.不同的質量項對石墨烯邊界模的影響

研究六角格子。六角晶格在理論和實驗上都有重要意義。實驗上，六角晶格在石墨烯中。理論上，石墨烯也很有趣：每個晶胞有兩個格點（A和B），所以石墨烯的最簡化模型是兩能帶模型，結果：具有最近鄰跳躍的六角晶格是在費米能級具有無能隙狄拉克費米子的半金屬。狄拉克費米子能以不同的方式打開能隙，所得到的絕緣體展示了很好的性質，比如零場量子霍爾效應（即陳絕緣體或量子反常霍爾效應態）。
本章證明了石墨烯的最近鄰跳躍模型有狄拉克點，然后問什么對稱性保護了狄拉克點不打開能隙。我們會學到，在二維空間維度中，空間反演和時間反演對稱性都被需要去保持狄拉克費米子無能隙。這兩個條件賦予了狄拉克費米子一個“實際”的限制，我們將它們的無能隙和維格納-馮諾伊曼分類聯系起來。然后我們保持空間反演和時間反演不受破壞，而破壞石墨烯最近鄰模型的

C_{3}

對稱性，證明了雖然狄拉克點是局域穩定的，但它們不是全局穩定的：兩個狄拉克點會湮滅並打開能隙。但這種情況只能發生在兩個狄拉克點有相反的“渦量”時，它是相同的效應that貝里相位積累沿着圍繞着狄拉克點的等能線。因此我們認識到貝里相位是保持狄拉克點局域穩定的一個渦量。然后我們證明了無能隙石墨烯有邊界模that聯系了兩個狄拉克點。我們得到了這些模式的解析解並討論了在狄拉克點上，能隙的不同類型打開方式給出了不同類型的絕緣體，這提供了一個簡單和有啟發的對后一章提到的陳絕緣體的理解方式。

1.1節六角晶格

圖7.1 中原胞基矢
（7.1）
倒格矢：
（7.2）

證明見為知“石墨烯結構”

圖1

布里淵區有兩個角點：
（7.3）
這兩個點彼此是TR對，這個結論可以很容易地得到證明在六角BZ中，因為（這個等式從布里淵區的圖證明）。

不會證明此結論

石墨烯最簡單的緊束縛哈密頓量包括了最近鄰點之間的跳躍。它是2X2哈密頓量，很容易地對角化在A、B位點的二次量子化算符基矢。對跳躍(見圖7.1)，哈密頓量傅里葉變換在動量空間中為：

（7.4）
(7.5）

不幸的是，此時哈密頓量不是布洛赫形式，即，其中，因為。我們能工作在這個基矢中並放棄布洛赫公式，但這將和前面章節中的結果不一致，並且would also preempt取代 the automatic identification of time reversal invariant points G/2 and -G/2, up to reciprocal lattice wavevectors。我們決定重建布洛赫公式通過對前面的哈密頓量作規范變換在B點，
（7.6）
(指數上應加一個負號， $C_{B}$ 前面應該加一個i）
去得到布洛赫哈密頓量
其中

（7.7）
此規范變換使得布洛赫形式的哈密頓量對應於石墨烯晶格中軌道的不同規范選擇。

由（7.7）證明過程知，（7.6）這樣變換不會改變哈密頓量。
此（7.1)滿足布洛赫定理

1.2節狄拉克費米子

簡單的緊束縛石墨烯哈密頓量顯示了無質量狄拉克費米子的有趣物理。對於各向同性跳躍矩陣元（其實 $t_{a}$ 就是 $t_{1}$ ),在附近展開，

我們發現哈密頓量有狄拉克形式：
（7.8）
在點（此K'不是（7.3）中的，而是=-K），有另一個狄拉克哈密頓量：
（7.9）

如果不是將各向同性跳躍矩陣元取為1，而是t，則結果是將（7.8）、（7.9）中的3a/2變成3at/2。
以上兩個公式證明：

在此問題中沒有其他的狄拉克點。這些點的存在使得石墨烯是半金屬，具有根本不同於絕緣體的性質，因為低能激發總是存在於這樣一個系統中。
（7.8）、（7.9）就是二維無質量狄拉克或外爾哈密頓量，它們有錐形色散關系在K和K'點，如圖2. 所以這些點稱為狄拉克點，這些點的鄰域稱為能谷。 $σ$ 矩陣反映了兩個子晶格的贗自旋性質。而且，當考慮狄拉克點附近的低能激發時，我們發現會存在二重谷簡並。引入 $ξ = \pm 1$ 來分別表示K和K'，則將（7.8）、（7.9）統一寫成有效低能哈密頓量：
（7.9.1）

圖2
石墨烯的能量(能帶結構)的推導就是將h（k）用久期方程求出能量，再在K點附近展開，可以得到能量與q的線性關系，具體見sunkai講義，此求E的方法的成立原因在sunkai講義緊束縛中有寫。
求|Unk>的方法是將h（k）對應的矩陣方程求出本征態。但此方法成立的原因sunkai講義中證明有問題，應從SSH模型筆記中的方法來證明。以后再證。
劉海文固體理論課還提到，兩個狄拉克點的哈密頓量（7.8）、（7.9）還滿足時間反演的Kramers定理：
，其實就是（7.10）

問題：對於擾動，這些狄拉克點是否是穩定的？

我們是通過對哈密頓量的展開來證明狄拉克點的存在，但所使用的哈密頓量不是一般性的。例如，它只包含具有C3對稱性（即120度旋轉對稱性）的最近鄰跳躍，它沒有包括晶胞中位於A、B格點上的不同的勢能等。加入小的微擾是否會導致狄拉克點能隙打開？若要保持系統是半金屬，則允許加入什么擾動？若要打開能隙，則應加入什么擾動？
所有這些問題需要去考慮石墨烯的對稱性。

1.3節石墨烯的對稱性

1.

在A、B格點上具有相同的原子的六角格子有兩個特征的對稱性。一個是時間反演，它被提出：忽略了跳躍矩陣元的空間貢獻，只要它們是實數。

從A跳躍到B和從B跳躍的A的跳躍t本來是互為復共軛關系，由於時間反演對稱性，所以 $t = t^{*}$ ，t是實數。

另一個是空間反演，它被提出：對於反演（其反演中心要么在晶胞鍵的中間，要么在六角格子的中心），如果晶格中的跳躍是對稱的：它被清楚地提出在各向同性的跳躍情況。
具體見fig7.2：對於反演，1與反演之后的1，其跳躍t都是相同的。這就是空間反演對稱性的含義。

下面分析這兩個對稱性對狄拉克費米子的影響，然后分析 $C_{3}$ 對稱性的影響。

2.時間反演

時間反演對稱性對h(k)的要求：

對無自旋費米子布洛赫哈密頓量，若系統有時間反演對稱性，則：
（7.10.1）

證明：bernvig第4章（4.14）[其中h(k)是數，不是矩陣]的證明過程中用了系統有時間反演對稱性這個條件，故對矩陣形式的h(k)，應該也可以類似證明，在系統有時間反演對稱性時，可以得到（7.10.1）成立。但我未證，沒時間。

對時間反演算符T，還可以證明：
（7.10.2）

證明：

由（7.10.1）、（7.10.2）得：
（7.10）（劉海文固體理論課說這是Kramers定理）

（7.10）可以直接從（7.7）看出確實成立

如果系統有TR對稱性，如果已經通過展開哈密頓量得到了K點的哈密頓量，就能直接由（7.10）得到K'點的哈密頓量，而不需要再對K‘點展開計算。即：

已經知道（7.8），求（7.9）h(K'+q)=h(-K+q)，而由（7.10）知：。左邊=，故，故
（7.11）

只要在K、K'點，哈密頓量有以下特殊的性質，則TR對稱性不能保護狄拉克點

注意，只要在K、K'點，能隙有以下特殊的性質，則T本身不會阻止狄拉克費米子打開能隙：
如果在K點,而在K'點，，即這個系統保持了時間反演對稱性。是質量項，它保持了TR對稱性，但打開了一個能隙（可以通過久期方程法證明），物理意義：設A格點勢能更大，B格點勢能更小，則m代表了A格點上原子的勢能與平均勢能之差或平均勢能與B格點勢能之差。
以上就是說明了，雖然TR對稱性仍然存在，但還是有能隙，說明TR對稱性不能保護狄拉克點。

質量項:

例如六角晶格結構的氮化硼，由於A、B格點上有不同的原子，所以形成了有能隙的絕緣體。

一個問題:如果是石墨烯，A、B格點上都是碳原子，A、B格點的勢能是否相同？以后再說。從后面內容及論文知，對A、B格點上都是碳原子，則A、B格點勢能相等。

3.空間反演對稱性

見fig.7.2。如果跳躍和位於格點的矩陣元在空間反演算符

(7.12)
的作用下沒有改變，則哈密頓量也有空間反演對稱性。
空間反演是幺正算符，它不包含復共軛算符，由於在反演下x和p都改變符號，故它使得[x,p]對易關系不變，這和時間反演情況不同，其中只有p在反演下改變符號。在以fig,7.2為反演中心的反演下，萬尼爾算符變換：
(7.13)
統一寫成
（7.14）

從物理上理解，空間反演之前是在一個格點上產生粒子，反演之后是在反演之后的格點產生粒子，所以（7.13）成立。注意圖1.
是 $σ_{x}$ 的分量,
（7.14）即

布洛赫算符在空間反演變換下：
(7.15)

哈密頓量在空間反演下：
...... (7.16) 見（7.17）證明過程。

對於反演對稱的石墨烯哈密頓量，即，則：
(7.17)

系統有空間反演對稱性，則的證明見曾書卷二292頁。
(7.16)、（7.17）證明：

(7.17)只對A、B格點上勢能相等、只考慮最近鄰跳躍的情況成立。對BN，其A、B格點上勢能不同，故有質量項，此時系統不具有空間反演對稱性，(7.17)不成立。
空間反演對稱性本身也不會保證狄拉克點的穩定性。如果在K點，我們打開能隙m，，若系統有空間反演對稱性，則在K‘點，
，在K和K'點，質量項不同，所以這種質量項不是動量獨立的。確實，這樣一個質量項的全晶格實現由霍爾丹首先發現作為拓撲絕緣體的例子（陳絕緣體）。我們將在第8章分析它。

4.具有時間反演對稱性、空間反演對稱性的狄拉克點的局域穩定性

空間反演和時間反演分別不能保護狄拉克點的原因是它們都聯系了一般的k到-k,因此不是真的施加了任何限制在一般k點的哈密頓量。
但是，當空間反演和時間反演對稱性都存在時，它們聯系了k和k，且在每個k點都分別對布洛赫哈密頓量施加了限制條件：
(7.18)

證明：

一般地，兩能級哈密頓量核的形式：

（7.19）寫成此形式是因為

由（7.18）得：

得：
（7.21）

故如果同時有時間反演和空間反演對稱性，則沒有 $σ_{z}$ 質量項來打開能隙，所以狄拉克點是局域穩定的。這對狄拉克哈密頓量（7.8）、（7.9）意味着什么？如果在K點，哈密頓量是，我們不被允許去通過任何擾動給哈密頓量增加一個 $σ_{z}$ 項。即使 $σ_{x}$ 和 $σ_{y}$ 項沒有被兩個對稱性禁止，但如果擾動很小地改變了 $σ_{x}$ 和 $σ_{y}$ 項，則其實只是在k空間中移動了狄拉克點，
（7.22）

故，在具有時間反演和空間反演對稱性時，單個狄拉克點是局域穩定的，即沒有小的微擾能打開能隙。大的微擾確實能打開能隙，但其打開能隙的原理有很大不同。
只要由時間和空間反演對稱性保護的狄拉克費米子被禁止去打開能隙，則它們給了布洛赫波函數一個渦量，這和說貝里相位等於 $\pm π$ .(其中是貝里矢勢，積分是對任何包圍狄拉克點的回路積分）。因為矩陣 $σ_{z}$ 是禁止的（無論乘一個常數項或甚至乘一個k的奇數或偶數次冪），因此在K和K’的哈密頓量都能寫成矩陣：
。這樣一個狄拉克費米子的貝里相位由給出，我們后面將證明此結論。注意 $σ_{z}$ 的缺失是重要的，因為它允許我們寫哈密頓量同時具有i,j=1,2而不是——in this case $A_{i a}$ would not be a square matrix （方陣）and defining a determinant (vorticity) would be impossible.The fact that vorticities can be defined when the dimension of the BZ(in this case,2)is equal to the codimension of the crossing (in this case, also 2 because we have two Pauli matrices)is no accident（偶然，意外）.The Wigner-vonNcumann classification says that a generic crossing has codimension 3—we need to tune three paramcters to obtain a degeneracy because there exist three anticommuting Pauli matrices whose coefficients need to be tuned to zero.However, the BZ provides for two parameters(kx， k,), which are tuned automatically, leaving us with only one tunableparameter needed to obtain a degeneracy.This would be the Dirac fermion mass,which would need to be fine-tuned to vanish.But, if time reversal and inversion are present, then the matrix that would couple to this remaining tunable parameter cannot exist, and degeneracies can happen without tuning-1.e., they arelocally stablc.The presence of inversion and time reversalis said to impose a reality condition on the Hamiltonian (the Hamiltonian can be made real by a gauge transformation).
后面還有一些內容，寫得太簡單，都不懂。由為知筆記brenevig第二章貝里曲率知，在K點，兩能級系統，對負能帶，貝里相位為pi。在K'點，......
在計算此貝里相位時由兩種方法，一種是第二章中由貝里曲率的另一表達式計算，一種是求本征態算：

。

Wigner-vonNcumann classification：

后面內容太簡略，不懂

1.4節狄拉克點的全局穩定性

The stability of the Dirac nodes proved in the previous section is valid for any perturbation that respects T and I, as long as it is small. For example, we can break C3 and make the hopping on the bonds different, or we can add second and third nearest-neighbor hoppings. The second nearest-neighbor hopping does nothing because it is diagonal in the sublattice space (couples identical sublattices).
What happens if the perturbation is large? What happens if we add large, arbitrary-range hopping terms in our Bloch Hamiltonian? It is clear that the Hamiltonian can be gapped. For example, pick $\t_{a} = \t_{b} = 0$ in our graphene model, i.e., make a model of very anisotropic（各向異性） graphene with nonzero hopping in only one direction（即只在 $\t_{c}$ 方向上有跳躍）. The energy levels would then be土 $\t_{c}$ （通過對（7.7）久期方程法可以得到）, thereby giving a fully gapped Hamiltonian. How did this happen? It turns out that Dirac modes can and will open a gap by coming together and annihilating at a TR-symmetric point; at this point, the dispersion has to be quadratic（二次的） in one direction.

為什么

This section analyzes this aspect of the problem. We show that if the Hamiltonian has C3 symmetry (on top of（在...之上） I and T), then the Dirac nodes are globally stable, and their position is fixed at the K and K' points in the BZ. If, however, C3 symmetry is broken, then the Dirac nodes can move off the K, K' points——and, upon large-enough perturbations, the two Dirac nodes can meet up and annihilate at a TR-invariant point in the BZ.

1.C3對稱性和狄拉克點的位置

We now prove that, in the case where the Hamiltonian has the three symmetries T,I, and C3, the position of the Dirac nodes does not change and stays at
（7.23）
As stated previously, T and I guarantee the absence of σz terms in the Hamiltonian. However, with just T and I, the hopping can be anisotropic, the simplest example being a model with different nearest-neighbor hoppings.
An extra C3 symmetry, i.e., rotation by $2 π / 3$ around a hexagon center in the lattice oI around the points A or B, adds extra constraints to the system. The C3 symmetry is manifest by(表現在） the fact that the hopping matrix elements must be invariant upon the cyclic change of
（7.24）

圖1

This C3 transformation is obvious if we take the $2 π / 3$ rotation center to be either the center of the hexagon, one of the A-sites, or one of the B-sites. Note that this symmetry implies equal hopping parameters for the nearest-neighbor hopping A→B, but, in general, for nth next nearest-neighbor hopping, it does not imply equal hopping parameters. For example, for the hopping matrix element from site A to the third-nearest-neighbor site B (there are two third-nearest neighbor sites B, as given in fig.7.3), we have perfect C3 symmety even though the six matrix elements can break up into（分解為） two different matrix elements:
（7.25）
其中。換句話說，C3對稱性不要求對所有 $δ_{1, 2, 3}$ 的排列，t都相同，而僅對循環排列有要求對稱性。從圖7.3知，即使，但前面的項都符合C3對稱性。

C3對稱性對石墨烯能帶結構的影響

先分析最近鄰哈密頓量，其中跳躍僅通過最近鄰鍵發生。我們選擇用（7.4）形式的哈密頓量而不用規范變換得到的（7.7）形式，因為這樣C3對稱性更容易施加。
（7.4）哈密頓量核的右上角的非對角元為：
（7.26）

等號是因為提出了一項
(7.26)中t前面的負號去掉

無能隙點可以通過解以下方程得到：
（7.27）

狄拉克點被C3對稱性全局保護

現在我們證明，長程跳躍不但不能打開一個能隙在微擾理論中（這個結論在前面幾節狄拉克點的局域穩定性中已經得到了），而且也不能移動狄拉克點,無論擾動有多大。但是，我們不能保證引入長程微擾后，BZ中其他無能隙點不會缺失。為了證明無能隙點是穩定的，我們必須證明當C3對稱性存在時，任何非對角矩陣元在k=K點消失（如果確實如此，則時間反演對稱性保證了這個矩陣元也將在K'點消失）。考慮A格點和從此A格點到其他格點的跳躍。跳躍有兩種：
1） There are hoppings that go through an even number of bonds （i.e. the vector that links a certain A-site with the site we want to hop onto can be expressed as a linear combination of a total even number of $δ_{1 ， 2 ， 3}$ ——the number of $δ_{1}$ ， $δ_{2}$ ， $δ_{3}$ ， when added, is even）。 These hoppings couple sites in the same sublattice, i. e,** A to A and B to B **Because we cannot have any $σ_{z}$ matrix by T and I combined, the term induced by these hoppings must be diagonal and proportional to the identity matrix（this is true even if C3 symmetry is absent, just due to T and I）。

以上結論應該可以證明

Hence, these terms are just an energy shift, which breaks the perfect particle-hole symmetry of graphene but cannot open a gap at the Dirac points

particle-hole symmetry不知道是什么，以后再說

2）More importantly, there are hoppings that go through an odd number of bonds and that couple a-sites with B-sites. These are important and must be treated with care. Its obvious that on the graphene Lattice, $δ_{1 ， 2 ， 3}$ span the space, so any vector can be written in terms of them but more importantly, any vector coupling an A-site and a B-site can be written in the form
（7.29）
其中 $n_{1, 2, 3}$ 是整數，重要的是其滿足：
（7.30）

1 mod 3表示3m+1，m是整數

The preceding is true because of the chosen vector orientation of $δ_{1 ， 2 ， 3}$ 。We write each n as a multiple of 3 plus a remainder（余數）：
（7.31）

上面的字母應該是 $α_{i}$

根據C3對稱性，聯系A、B格點的非對角矩陣元是相對於 $δ$ 的循環排列：
（7.33）
（7.33）是右上角矩陣元。對於奇數個鍵的情況，右上角矩陣元應該可以證明也類似於第三次近鄰跳躍的情況，沒時間，證略。

前面fig7.3舉了例子說明C3對稱性要求對第三次近鄰的跳躍， $δ_{1, 2, 3}$ 的循環排列有對稱性，t相同。這里是對奇數個鍵的跳躍情況，應該也可以類似證明對循環排列有對稱性，數學問題，沒時間，證略。
（7.33）說明：

此矩陣元還可以寫成：

（7.34）等號右邊還應乘一項 $e^{3 i k \cdot m δ_{3}}$ 和t。

若考慮k=K這個使得最近鄰矩陣元消失的特殊點。由於
(7.35)
其中i=1,2

在K點，（7.34）右上角矩陣元為：

因此，我們證明了，當C3,T,I對稱性都考慮（都存在）時，對於任何A、B格點之間的跳躍，其矩陣元在k=K點都消失。我們說，狄拉克點被時間反演、空間反演對稱性局域保護（我們將看到兩個狄拉克點可以湮滅並打開能隙，所以它們不是被全局保護），而狄拉克點被C3對稱性全局保護。

（注意偶數個鍵的跳躍都是同種格點之間的跳躍，如A到A，B到B，而奇數個鍵的跳躍是聯系了A和B格點）

2. C3對稱性的破缺

When C3 symmetry is broken (we assume T and I are unbroken), there is nothing that stops the Dirac points from moving away from K. K'. It is easy to see that in the limit of high anisotropy（各向異性，此時就破壞了C3對稱性）, the graphene Hamiltonian is fully gapped. For example, for t3» t1 , t2 , we have

（在任何點都有能隙 $2 t_{2}$ ,K點也是，故破壞了狄拉克點)
It is hence clear that the absence of C3 symmetry spoils(破壞） the protection of Dirac modes. However, we know that for small anisotropy ，the Dirac nodes are stable because of the proof in section 7.4.1. How do the Dirac nodes gap?
In the anisotropic case, Dirac nodes come at points Ko (;i!: K) and -Ko related by TR invariance. As such, as long as Ko =f:. -Ko (mod b 1,2), the Dirac nodes are stable and cannot gap because of the vorticity that they carry. However, when:

C3對稱性破缺這一節內容寫得太簡略，不懂，以后再說。

第5節石墨烯的邊界模邊界模這部分內容書中比較淺，且可能過程有問題，以后應學石墨烯中的電子結構綜述論文中的石墨烯邊界模的內容

之前分析了具有周期性邊界條件的石墨烯，並討論了對稱性和狄拉克點的穩定性。結果表明，石墨烯顯示了神奇的物理，但只是對bulk（周期邊界條件），而不是對邊界。現在考慮邊界，我們將發現這些分析會導致第一個拓撲絕緣體——陳絕緣體的存在。

我們分析具有邊界的石墨烯。不用變換矩陣方法，我們將用哈密頓量直接對角化方法。正如之前，各向同性哈密頓量：
（7.44）
i,j在六角格子上，且我們假設無自旋費米子。對具有自旋的費米子，我們增加額外的自旋量子數。在fig7.5中，我們考慮開邊界條件在y方向和周期邊界條件在x方向。
We consider open-boundary conditions in the y-direction and periodic- boundary conditions in the x-direction as in figure 7.5， with “zigzag”（彎曲） chains（shown in the figure）oriented at an angle of $π / 6$ angle with respect to the horizontal, represented by the color red in figure 7.5. Because we have distinct不同的 A and B sites in the unit cell, we can count them along one red chain（fig. 7.5）as even and odd 2j-1， 2j， 2j+1， 2j+2，...-sites. If we have periodic boundary conditions in the x-direction, we make the fourier transform
(7.45)

where $N_{x}$ is the number of sites in the x-direction. The diagonalization of the Hamiltonian proceeds easily
（7.46）
其中 $a_{1} = a \sqrt{3}$ ,a是石墨烯晶格常數。

只對奇數格點進行規范變換，則：
（7.47）

1.包含偶數個格點的鏈

設此鏈在y方向有2 $L_{y}$ 個格點，其中格點1是在A子晶格（這些條件保證了格點2 $L_{y}$ 是在B子晶格）。
當 $k_{x} = π / a_{1}$ 時，在鏈的首尾兩端的格點1和格點2 $L_{y}$ 沒有和二聚化鏈的bulk聯系，如圖7.7. 在這種情況，邊界態：
（7.48）
在這兩個態電子不能跳躍，被束縛，只有勢能，故在單電子哈密頓量中可以說E=0，因此是零邊界模，而bulk是完全二聚化的。
當遠離 $k_{x} = π / a_{1}$ 時，邊界模有能量的色散關系，但是在 $L_{y} \to \infty$ 的極限，邊界模能量變為零。證明：

滿足上面2pi/3和4pi/3之間的k點在 $k_{x}$ 的角度就是狄拉克點。

為什么

這代表了，在熱力學極限下，局域在j=1邊界，能量E趨於0的邊界態。
注：書中83頁還說能量色散關系在kx空間是 $e^{- L_{y}}$ 的量級，但我不會證明，我認為從薛定諤方程得到的結果就是（7.49），對（7.49）進行計算我也沒求出能量色散關系是 $e^{- L_{y}}$ 的量級這個結論。但從fig7.8知，此結論可能是對的。

第二個邊界模是在 $j = L_{y}$ 的邊界態，同理得：

現在我們有了在熱力學極限下邊界模的圖像。在bulk，所有能帶的色散關系將投影到 $k_{x}$ 軸，所以“bulk”能帶將是fat。它們將變成零能量在狄拉克錐或點。在狄拉克錐之間的每個點，它們將變成兩個不分散的邊界模在零能量，這聯系了它們正如在圖7.8. 它們局域在樣品的一端和另一端，任何“能耦合在相對的邊界的模”的局域微擾不能提高簡並度，因為它必須穿過整個樣品去耦合它們。

以上結論及圖7.8，書中沒有證明，fig7.8色散關系的得出還應學石墨烯的電子結構綜述論文，bernevig書中沒寫。

2.具有奇數格點的鏈

3.不同的質量項對石墨烯邊界模的影響

如果在狄拉克點打開一個能隙，邊界模會發生什么？
在無自旋情況，一些可能性：
情況1：首先，增加一項給了不同勢能在A、B格點的項。正如在BN的情況。此項：
（7.63）
其中m>0，m稱為空間反演對稱性破缺質量，或semenoff質量。The edge modes that terminate（have high amplitude）on sites A will go up in energy, whereas the edge modes that terminate on sites B will go down in energy. We hence have the situations in figures 7. 11， 7.12， 7.13 and 7 14， depending on whether the terminations are A-B, B-A, A-A, or B-B。

情況2：增加一項破壞了時間反演對稱性並在系統中打開了能隙的一項。稱為Haldane質量；因為到目前為止我們不知道如何將其加到晶格，所以我們加它在狄拉克費米子質量的能級，which, per sections 7.3.2 and 7.3. 1， means we need to add a mass of opposite sign to the Dirac fermions at K and K'. This mass term is a k-space-dependent term which cannot be looked at as a term that adds energy on localized sites. It is not an on-site term(即勢能項）. As such, the edge modes will do completely different things than in the case of a BN-type（inversion-breaking）mass. We have seen that in the inversion-breaking case, the edge modes remain linked to the Dirac mass； i. e, the mass is identical at both cones, and the edge modes still connect the cones on the same side of the gap In the T-breaking case, a similar thing happens, but because the mass is negative at one cone and positive at the other cone, the edge modes will connect one cone with anothcr by crossing the gap, as in figures 7.15-7.18. The Hall conductance can be inferred推斷 if we know where the edge modes in the figure are situated（位於）（i. e, on which side of the Laughlin cylinder）， but it can be only $\pm$ 1. Thus, it is clear that a topological insulator with nonzero Hall conductance and that maintains lattice translational symmetry exists. We will find one in the next chapter.