C++實現二次、三次B樣條曲線

原文：Bezier曲線、B樣條和NURBS的基本概念

下面是一個有四個控制點的Bezier曲線：

 可以通過改變一個控制點的位置來改變曲線的形狀，比如將上圖曲線中左邊第二個控制點往上移，就可以得到下面的曲線:

可以看到，這種曲線生成方式比較直觀和靈活，我只需要放置控制點，然后調整控制點的位置來得到想要的曲線，這就避免了和復雜的數學方程打交道，豈不快哉？

Bezier曲線、B樣條和NURBS都是根據控制點來生成曲線的，那么他們有什么區別了？簡單來說，就是:

Bezier曲線中的每個控制點都會影響整個曲線的形狀，而B樣條中的控制點只會影響整個曲線的一部分，顯然B樣條提供了更多的靈活性；

Bezier和B樣條都是多項式參數曲線，不能表示一些基本的曲線，比如圓，所以引入了NURBS，即非均勻有理B樣條來解決這個問題；

B樣條克服了Bezier曲線的一些缺點，Bezier曲線的每個控制點對整條曲線都有影響，也就是說，改變一個控制點的位置，整條曲線的形狀都會發生變化，而B樣條中的每個控制點只會影響曲線的一段參數范圍，從而實現了局部修改；

 

以下內容原文：二次與三次B樣條曲線c++實現

B樣條曲線從Bezier曲線演變而來，了解B樣條曲線首先得了解Bezier曲線。對於平面上的三個點P0，P1，P2，其坐標分別是(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。二次Bezier曲線用一條拋物線進行擬合，其參數方程是

二次Bezier曲線有如下要求：（1）t=0時，曲線經過P0，並與P0P1相切；（2）t=1時，曲線經過P2，並與P1P2相切。即有

其中，稱為二次Bezier曲線基函數。

每3個離散點形成一條Bezier曲線，由於每條Bezier都經過端點，導致分段的Bezier曲線在端點處難以平滑過渡。二次B樣條曲線克服了這個缺點，把端點移到線段中點（如下圖所示），這樣就能保證各段曲線在連接處能夠一階導數連續。

 

 

二次B樣條曲線實現，只需將曲線參數t划分成k等分，t從0開始取值，間隔dt，直至k*dt。如果想讓整條曲線兩端與起始點P0和終止點Pn重合，只需以P0和Pn為中點，構造新點PP1=2*P0-P1，與PP2=2*Pn-Pn-1，替換掉P0與Pn即可。

三次B樣條曲線通過樣條基函數可以得到如下形式：

 

 

     三次B樣條具有以下物理意義，曲線起點S位於三角形P0P1P2的中線P1M1上，距離P1點1/3倍P1M1處；曲線中點E位於三角形P1P2P3的中線P2M2上，距離1/3倍P2M2處；曲線起點切線平行於P0P2，終點切線平行於P1P3.

 

   三次B樣條曲線要想讓曲線兩端與起始端P0與Pn重合，只需構造新點PP1=2*P0-P1，與PP2=2*Pn-Pn-1，分別加到P0之前與Pn之后即可。由此，參與計算點的增加了2個（注意，二次B樣條是替換不是增加）。

 

程序實現了二次與三次B樣條曲線，封裝成了BSpline類

BSpine.h

#pragma once
//#include "position.h"
 
typedef struct tagPosition
{
    double  x;
    double  y;
    tagPosition(double _x,double _y) { x=_x; y=_y;}
    tagPosition() {};
    bool operator==(const tagPosition & pt) { return (x==pt.x && y==pt.y);} 
} CPosition;
 
class CBSpline
{
public:
    CBSpline(void);
    ~CBSpline(void);
 
    void TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
    void TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
    double F02(double t);
    double F12(double t);
    double F22(double t);
 
    void ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
    void ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
    double F03(double t);
    double F13(double t);
    double F23(double t);
    double F33(double t);
};

BSpine.cpp

//****************************     BSpline.cpp     *********************************** 
// 包含功能：二次B樣條平滑，三次B樣條平滑；二次B樣條平滑后節點插值
//
// 作者：    蔣錦朋   [e-mail]
// 單位：    中國地質大學（武漢） 地球物理與空間信息學院
// 日期：    2014/12/03
//*************************************************************************************
#include "StdAfx.h"
#include "BSpline.h"
 
 
CBSpline::CBSpline(void)
{
}
 
 
CBSpline::~CBSpline(void)
{
}
//======================================================================
// 函數功能： 二次B樣條平滑，把給定的點，平滑到B樣條曲線上，不增加點的數目
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成后，會被替換成新的平滑點
//            Num：點個數
// 返回值：   無返回值
 
// 編輯日期：    2014/12/03
//======================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
    CPosition *temp=new CPosition[Num];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  將折線兩端點換成延長線上兩點
    temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
 
    temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
    temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3;
    double t;
    for(int i=0;i<Num-2;i++)
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2];
        if(i==0)                                     //  第一段取t=0和t=0.5點
        {   
            t=0;
            pt[i].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }else if(i==Num-3)                          //  最后一段取t=0.5和t=1點
        {
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
            t=1;
            pt[i+2].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+2].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }else                                      //  中間段取t=0.5點
        {
            t=0.5;
            pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
            pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
        }
    }
    delete []temp;
}
 
//================================================================
// 函數功能： 二次B樣條擬合,在節點之間均勻插入指定個數點
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成后，會被替換成新的數據點
//            Num：節點點個數
//            *InsertNum: 節點之間需要插入的點個數指針 
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
    if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
 
    int InsertNumSum=0;                               //  計算需要插入的點總數
    for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];
 
    CPosition *temp=new CPosition[Num];               //  二次B樣條不需要增加點數，需要將首尾點替換掉
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  將折線兩端點換成延長線上兩點
    temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;
 
    temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
    temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;
 
    delete []pt;                                      //  點數由原來的Num個增加到Num+InsertNumSum個，刪除舊的存儲空間，開辟新的存儲空間
 
    pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;        //  兩節點間均勻插入點，需要相鄰兩段樣條曲線,因此需要四個節點
 
    double t;
    int totalnum=0;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每條線段均勻插入點
    {
        if(i==0)                                      //  第一段只需計算第一條樣條曲線，無NodePt1
        {   
            NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];     
 
            double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
            for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
            {
                t=0+dt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
                totalnum++;
            }
        }else if(i==Num-2)                            //  最后一段只需計算最后一條樣條曲線，無NodePt4
        {
            NodePt1=temp[i-1]; NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1];
 
            double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
            for(int j=0;j<InsertNum[i]+2;j++)
            {
                t=0.5+dt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
                totalnum++;
            }
        }else                                      
        {
            NodePt1=temp[i-1],NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];    // NodePt1,2,3計算第一條曲線，NodePt2,3,4計算第二條曲線
 
            int LeftInsertNum,RightInsertNum;          //  計算線段間左右曲線段上分別需要插入的點數
            double rightoffset=0;                      //  左邊曲線段從t=0.5開始，又邊曲線段從t=rightoffset開始
            double Leftdt=0,Rightdt=0;                 //  左右曲線取點t步長
            if(InsertNum[i]==0 )
            {
                LeftInsertNum=0;
                RightInsertNum=0;
            }else if(InsertNum[i]%2==1)                //  插入點數為奇數，左邊曲線段插入點個數比右邊多一點
            {
                RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
                LeftInsertNum=RightInsertNum+1;
                Leftdt=0.5/(LeftInsertNum);
                Rightdt=0.5/(RightInsertNum+1);
                rightoffset=Rightdt;
            }else                                      //  插入點數為偶數，左右邊曲線段插入個數相同
            {
                RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
                LeftInsertNum=RightInsertNum;
                Leftdt=0.5/(LeftInsertNum+0.5);
                Rightdt=0.5/(RightInsertNum+0.5);
                rightoffset=Rightdt/2;
            }
 
            for(int j=0;j<LeftInsertNum+1;j++)
            {
                t=0.5+Leftdt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
                totalnum++;
            }
 
            for(int j=0;j<RightInsertNum;j++)
            {                
                t=rightoffset+Rightdt*j;
                pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
                pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
                totalnum++;
            }
        }
    }
    delete []temp;
    Num=Num+InsertNumSum;
 
}
//================================================================
// 函數功能： 二次樣條基函數
//
// 編輯日期：    2014/12/03
//================================================================
double CBSpline::F02(double t)
{
    return 0.5*(t-1)*(t-1);
}
double CBSpline::F12(double t)
{
    return 0.5*(-2*t*t+2*t+1);
}
double CBSpline::F22(double t)
{
    return 0.5*t*t;
}
//========================================================================
// 函數功能： 三次B樣條平滑，把給定的點，平滑到B樣條曲線上，不增加點的數目
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成后，會被替換成新的平滑點
//            Num：點個數
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：    2014/12/03
//========================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
    CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i+1]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  將折線延長線上兩點加入作為首點和尾點
    temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
 
    temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
    temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
    double t;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
 
        if(i==Num-4)                          //  最后一段取t=0.5和t=1點
        {
            t=0;
            pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            t=1;
            pt[i+1].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i+1].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
        }else                                      //  中間段取t=0.5點
        {
            t=0;
            pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
        }
    }
    delete []temp;
}
 
//================================================================
// 函數功能： 三次B樣條擬合,在節點之間均勻插入指定個數點
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成后，會被替換成新的數據點
//            Num：節點點個數
//            *InsertNum: 節點之間需要插入的點個數指針 
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
    if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;
 
    int InsertNumSum=0;                               //  計算需要插入的點總數
    for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];
 
    CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
    for(int i=0;i<Num;i++)
        temp[i+1]=pt[i];
 
    temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  將折線延長線上兩點加入作為首點和尾點
    temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;
 
    temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
    temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;
 
    CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
    double t;
 
    delete []pt;                                      //  點數由原來的Num個增加到Num+InsertNumSum個，刪除舊的存儲空間，開辟新的存儲空間
 
    pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              
 
    int totalnum=0;
    for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每條線段均勻插入點
    {
        NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
        double dt=1.0/(InsertNum[i]+1);
 
        for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
        {
            t=dt*j;
            pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            totalnum++;
        }
 
        if(i==Num-2){              //  最后一個尾點
            t=1;
            pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
            pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
            totalnum++;
        }
    }
 
    delete []temp;
    Num=Num+InsertNumSum;
 
}
 
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// 函數功能： 三次樣條基函數
//
// 編輯日期：    2014/12/03
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double CBSpline::F03(double t)
{
    return 1.0/6*(-t*t*t+3*t*t-3*t+1);
}
double CBSpline::F13(double t)
{
    return 1.0/6*(3*t*t*t-6*t*t+4);
}
double CBSpline::F23(double t)
{
    return 1.0/6*(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1);
}
double CBSpline::F33(double t)
{
    return 1.0/6*t*t*t;
}

程序調用

#include "stdafx.h"
#include "math.h"
#include "BSpline.h"
 
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    int num=8;
    double x[8]={9.59,60.81,105.57,161.59,120.5,100.1,50.0,10.0};
    double y[8]={61.97,107.13,56.56,105.27,120.5,150.0,110.0,180.0};
 
    CPosition *testpt=new CPosition[num];
    for(int i=0;i<num;i++) testpt[i]=CPosition(x[i],y[i]);
 
    int *Intnum=new int[num-1]; 
    for(int i=0;i<num-1;i++){
        Intnum[i]=10;                 //  每一個樣條曲線內插入10個點
    }
 
    int num2=num;
    CBSpline bspline;
    bspline.TwoOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);        //  二次B樣條曲線
    //bspline.ThreeOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);    //  三次B樣條曲線
 
    //bspline.TwoOrderBSplineSmooth(testpt,num2);      //  二次B樣條平滑
    //bspline.ThreeOrderBSplineSmooth(testpt,num2);    //  三次B樣條平滑
    delete Intnum;
 
 
    FILE *fp_m_x = fopen("Bspline_test_x.txt", "wt");
    FILE *fp_m_y = fopen("Bspline_test_y.txt", "wt");
    for (int i = 0; i < num2; i++){
        fprintf(fp_m_x, "%lf\n", testpt[i].x);
        fprintf(fp_m_y, "%lf\n", testpt[i].y);
    }
    fclose(fp_m_x);
    fclose(fp_m_y);
 
    return 0;
}

 

更多可以看原文（我不用matlab）：https://blog.csdn.net/jiangjjp2812/article/details/100176547?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-3.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7ECTRLIST%7Edefault-3.no_search_link