一、二進制前置知識
1.十進制和二進制的轉換
十進制轉換二進制----除基取余法
例如：（55）轉換為二進制
用55除2，得到27余1，------1
再用27除2，得到13余1，------1
再用13除2，得到6余1，------1
再用6除2，得到3余0，------0
再用3除2，得到1余1，------1
再用1除2，除不了余1。------1
把余數從下往上取，即 110111 = 55
二進制轉十進制----位權法
例如：（110111）轉換為十進制
二、硬件知識
任何數據都是以二進制存儲在計算機中。
根據馮·諾依曼提出的經典計算機體系結構框架，一台計算機由運算器、控制器、存儲器、輸入和輸出設備組成。其中，運算器只有加法運算器。
計算機雖然沒辦法做減法，但是可以加上這個數的相反數呀。但是二進制我們不能給它加上負號，於是我們需要引入一個符號位，存儲在最左邊的一位上，0代表正數，1代表負數。例如一個四位二進制數，最左邊是符號位。0001，表示他是+1，1001，表示他是-1。
三，原碼
終於到正題了，想象你是當年設計計算機的科研人員。你把帶符號位的四位二進制數做運算，向全世界展示你精妙絕倫的設計--符號位。
於是你開始了計算----
- 0001+0010=0011 1+2=3
- 1000+0000=1000 (-0)+0=(-0)
- 0101+1010=1111 5+(-2)=-7
你突然發現，正數加正數沒有問題，但是后面的測試出現了問題
1：怎么會有兩個0呢？
因為1000和0000都表示 零
2：怎么正數加負數會出現問題呢？
因為符號位引起的。
總結一下：
1、原碼直觀
2、正數相加沒問題
3、0有兩種表達，運算時需要將-0轉換為0，也就是1000轉換為0000
四、反碼
正數的反碼不變。
負數的反碼：符號位不變，將原碼取反。
例如：
原碼000的反碼就是0110
然后我們試一試用反碼計算一下剛才沒有解決的問題
- 0010 + 1101 = 1111 1+（-1）=0 把1111取反碼，1000，也就是說兩個相反數相加取反碼結果沒有問題
- 1110 + 1011 = 1001 （-6）+（-3）=（-6）取反得到1110， 這樣算出來的是-6，出錯了
總結一下：
1、反碼在計算相反數相加的時候不會出錯（計算的時候會遇到運算位溢出，此時直接忽略高位即可）
2、0還是有兩種表達0000和1111
3、容納數字的范圍和原碼相同（如上圖，原碼與反碼集合存在映射關系）
4、往往是中間變換量，不會直接用
五、補碼
正數的補碼不變。
負數的補碼等於反碼+1。
我們需要注意的是，目前大多數書籍只介紹了補碼如何計算，但是都沒有講清楚為何是這樣計算，以及這樣計算的依據。
筆者在初學的時候也遇到了很多疑惑。關於補碼的嚴格定義，可以自行百度，里面會介紹模與同余數的概念。
在此簡單介紹一下，舉一個生活中常見的12進制的例子來說明模的概念：
假如當前有一個時鍾，指針指向9，如果我要調到12點，我們有兩個方法，+3或者-9.
也就是說凡是-9的運算都可以看做是+3的運算。
這個情況下，模是12（mod）
思考到這里時請放緩腳步，慢慢思考。
我們會發現，9+3居然和9-9在某種意義上的效果是一樣的。
既然兩者效果相同那么一個數a減去一個數b就相當於加上這個數b的同余數。
於是推出模的一般公式：a-b=a-b+mod=a+mod-b
利用這個思想，我們把它帶到二進制的世界里（假設是四位的二進制）
我們試圖運算0011 - 0010 = 0001，但是我們發現計算機中沒有減法器，不能算。
我想便利用上面的思想，減去一個數等於加上一個數的同余數，也就是0011 加上0010的同余數即可
四位二進制的模 10000，那么0010的同余數就是10000-0010=1110，
那么我們就直接0011+1110=10001，但是我們是四位的運算，多出的一位會被直接舍棄，計算機會把多出來的一位放在psw寄存器中，不討論。
那么至此，我們就可以利用補碼計算加法和減法了。
想必你有疑問，怎么求一個數的補碼呢？我們經過大量計算發現，補碼竟然是原碼的反碼+1，非常不可思議。
為什么會這樣呢？
六、總結與原理
因為負數的反碼加上這個負數的絕對值正好等於1111，在加1，就是10000，也就是四位二進數的模，而負數的補碼是它的絕對值的同余數，可以通過模減去負數的絕對值得到它的補碼，所以負數的補碼就是它的反碼+1。
參考文獻：Programming in C