計算機二進制中的原碼，反碼，補碼

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計算機最基本的工作是處理數據，而數據的最底層表現形式是二進制，並非是我們人類熟悉的十進制。可以這么認為，計算機其實是很“笨的”，它只理解二進制數據。

今天，主要介紹計算機是怎樣做加減運算的。你可能會想，加減運算？這么簡單的事情，還用介紹？也許還真不是你想的那樣。

計算機的運算是由CPU 完成的，而CPU 只會做加法運算，不會做減法運算，那計算機怎樣完成減法工作呢？

1，二進制數

我們先來看看二進制數。

二進制數是由0，1 組成的，比如：

• 十進制的5，用二進制表示是 101。
• 十進制的7，用二進制表示是 111。

數字由正數和負數組成。為了表示正負數，計算機中就有了有符號數和無符號數之分：

• 無符號數：英文為 unsigned，只能表示正數。
• 有符號數：英文為signed，即能表示正數，又能表示負數。

C/C++ 語言中的數字有有符號數和無符號數之分。
Java 語言所有的數字都是有符號數。

假如，我們用 4 位二進制，來表示無符號數，也就是只表示正數，能表示的范圍是 0 到 15，轉換關系如下表：

十進制數	二進制數	十進制數	二進制數
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	10	1010
3	0011	11	1011
4	0100	12	1100
5	0101	13	1101
6	0110	14	1110
7	0111	15	1111

有符號數，即要表示正數，也要表示負數。

要用二進制表示有符號數，需要用二進制的最高位來表示符號，0 表示正，1 表示負。所謂的最高位，也就是最左邊那一位。

用 4 位二進制，來表示有符號數，能表示的范圍是 -8 到 7，轉換關系如下表：

十進制數	二進制數	十進制數	二進制數
0	0000	-8	1000
1	0001	-1	1001
2	0010	-2	1010
3	0011	-3	1011
4	0100	-4	1100
5	0101	-5	1101
6	0110	-6	1110
7	0111	-7	1111

上表中的最高位的符號位，已標紅。

要注意，對於有符號的4 位二進制 ----1000 不是 -0，而是 -8。

可以總結出，對於N 位的二進制數：

• 無論是表示有符號數還是無符號數，都能表示2^N 個數字。
• 若用於表示無符號數，則能表示的范圍是 [0, 2^N - 1]。
• 若用於表示有符號數，則能表示的范圍是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。
  • 需要注意，在有符號數中，對於符號位是 1，后面 N-1 位全是 0，這種情況表示的是 -2^(N-1)(也就是所能表示的最小值)，而不是 -0。
  • 實際上是將-0 這種情況解釋成了最小值，否則就會出現 +0 和 -0 兩個0。

2，二進制原碼

上面介紹到的二進制就是原碼形式。

原碼就是除符號位外的其他位，保存該二進制數的絕對值。

用原碼進行加法計算

計算機中的數字運算都會先轉成二進制數再進行計算。

我們用原碼來計算加法，用4 位二進制數來計算 3 + 2，過程如下：

可以看到，用原碼計算加法是沒有問題的。

用原碼進行減法計算

我們再用原碼來計算減法，因為CPU 只會計算加法，所以計算減法時，會將減法轉換成加法。

比如，用4 位二進制數來計算計算 3 - 2，會將其轉換成 3 + (-2)， 過程如下：

可以看到 3-2 計算出來的結果是 -5，顯然是錯誤的。

所以，用二進制原碼來計算減法是行不通的。實際上，計算機計算減法用的是補碼。

在介紹補碼之前，我們先來看下什么是溢出。

3，數字溢出

計算機中數字的表示是需要內存空間的，不同類型的數字所能占用的空間是不一樣的。

比如，在Java 語言中short 類型占用 2 個字節，int 類型占用 4 個字節。

一個字節等於 8 位。

既然空間大小是有限制的，所以計算機中的數字也是有范圍的，即上限和下限，如果數字超出限制，就會產生溢出。超出上限叫上溢出，超出下限叫下溢出。而溢出的部分會直接被舍去。

就像我們在上文中介紹的，對於N 位二進制有符號整數，所能表示的范圍是 [-2^(N-1), 2^(N-1) - 1]。

由於溢出的部分會被舍去，那么最大值加1，將發生上溢出，變為最小值；最小值減1，將發生下溢出，變為最大值。

我們用Java 中的int 類型來驗證，Java 中int 類型的最大、最小值分別是：

• 最大值：Integer.MAX_VALUE，是 2147483647。
• 最小值：Integer.MIN_VALUE，是 -2147483648。

用下面代碼驗證：

System.out.println(Integer.MAX_VALUE + 1 == Integer.MIN_VALUE); // true
System.out.println(Integer.MIN_VALUE - 1 == Integer.MAX_VALUE); // true

這兩行代碼的輸出均為true，說明最大值加1 變為最小值，最小值減1 變為最大值。

所以，在計算機中，只要一個整數的類型確定了，那么它所能占用的內存空間大小也就確定了，從而它所能表示的數字范圍也就確定了。那么不管給這個整數加多大的數字，或者減多大的數字，最終的結果都只能在這個范圍內旋轉。

就像表盤一樣，當表針走過最大值的時候，就變成了最小值。

同樣，這也等同於數學中的取余運算。只要分母確定了，不管分子是多大，或者多小的數字，最終的結果也都是在一個確定的范圍之內。

比如我們對十進制5 進行取余計算，那么最終的結果都是在[0, 4] 范圍之內，如下：

• 0 % 5 = 0
• 2 % 5 = 2
• 397 % 5 = 2
• 99999 % 5 = 4

可以總結出，對數字N 進行取余，N >= 2 且為整數，那么結果都在 [0, N-1] 范圍之內。

4，二進制反碼與補碼

知道了溢出，就可以介紹CPU 如何計算減法了。CPU 的減法運算使用了二進制補碼，補碼實際上就是采用了溢出的原理。

我們直接給出反碼與補碼的定義：

• 反碼定義：正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。
• 補碼定義：正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。

比如下面的幾個數字：

十進制數	2	3	-2	-5
二進制原碼	0010	0011	1010	1101
二進制反碼	0010	0011	1101	1010
二進制補碼	0010	0011	1110	1011

我們用4 位二進制補碼來計算 3+(-2)，如下：

最高位的1 發生上溢出，直接被舍去，所以結果是正確的。

所以，要記住，真實的計算機中的二進制是用補碼表示的，而不是原碼。

5，總結

本篇文章主要介紹了：

• CPU 只能做加法，不能做減法，減法要轉成加法做計算。
• 二進制數字有三種表示方式：
  • 原碼：除符號位外的其他位，保存該二進制數的絕對值。
  • 反碼：正數的反碼等於其原碼，負數的反碼是其原碼除符號位外，按位取反。
  • 補碼：正數的補碼等於其原碼，負數的補碼是其反碼加1。
• 計算機中的數字采用二進制補碼表示，而不是原碼表示。
  • 補碼采用了溢出的原理。
• 計算機中的數字是有范圍限制的，超出限制會發生溢出。
  • 超出上限叫做上溢出。最大值加1會發生上溢出，變為最小值。
  • 超出下限叫做下溢出。最小值減1會發生下溢出，變為最大值。

（本節完。）

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