master公式： T(n) = a * T(N/b) + O(N^d);
當：
log b A < d 時，程序的時間復雜度為：O(N^d);
log b A > d 時，程序的時間復雜度為：O(N^log b A);
log b A = d 時，程序的時間復雜度為：O(N^d * log N);
符合子問題規模是等規模的行為，均可使用master公式求解時間復雜度。
例：
/*
* 遞歸調用求最大值
* */
public static int process(int[] arr,int L,int R){
if(L==R){
return arr[L];
}
int mid = L + ((R-L)>>1); //求中點
int leftMax = process(arr,L,mid);
int rightMax = process(arr,mid+1,R);
return Math.max(leftMax,rightMax);
}
解析：
程序進行遞歸調用是，符合子問題規模是等規模（leftMax和rightMax）;
a: 子問題調用的次數，本程序的次數為2次（leftMax和rightMax）；
N：為母問題規模，本程序的母問題規模為N；
T(N/b): 子問題規模，本程序的子問題規模為：N/2（二分）；
O(n^d)： 子問題以為的時間復雜度，本程序為O(1)(求中點)；
可得本程序的master公式為：T(N) = 2 * T(N/2) + O(1);
所以，本程序的時間復雜度為：T(N) = O(N)
注： 求中點公式： int mid = L + ((R - L ) >> 1) L:起點，R:終點
例子： 合並排序
//程序入口
public static void main(String[] args){
int[] arr = {1,4,4,2,6,1,67,89,3};
MergeSort(arr,0,arr.length-1);
System.out.print("數組排序為：");
for(int number:arr){
System.out.print(number+" ");
}
}
/*
* 歸並排序
*算法解析:
* 1、將數組進行二分，分成倆個數組leftArr和RigtArr
* 2、對其中一個數組，進行繼續遞歸，分別屬於這一層遞歸的倆個數組leftArr和RigtArr
* 3、當LR相同時，即說明已經分到只剩一個元素了，第一個遞歸開始返回
* 4、開始遞歸返回，獲取第二個值，此時的這一層的leftArr含有最后的一個元素，rightArr含有第二個值
* 5、將leftArr和rightArr中的元素，按照大小按序放進輔助數組help,再遍歷寫進原先的數組arr
* 6、遞歸返回一層，重復5的步驟，直至leftArr完成排序
* 7、進入rightArr，開始重復leftArr的排序步驟
* 8、完成對rightArr的排序
* 9、遞歸最后一層，對leftArr和rightArr重復5的步驟
* 10、完成排序
* */
public static void MergeSort(int[] arr, int L, int R){
if(L == R){
return;
}
int mid = L + ( (R - L) >>1);
MergeSort(arr,L,mid);
MergeSort(arr,mid+1,R);
merge(arr,L,mid,R);
}
/*
*對元素，按照大小放進輔助數組help，在存放會原先的數組
*/
public static void merge(int[] arr, int L,int mid, int R){
int[] help = new int[R-L+1]; //臨時存儲的數組
int i = 0;
int p1 = L;
int p2 = mid + 1; //分開為倆個數組后，數組首元素的下標;
while (p1 <= mid && p2 <= R ){ //比較數組元素大小，小的元素先進臨時存儲的數組，如果相等，默認左邊數組的元素進數組
help[i++] = arr[p1] <= arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
}
while (p1 <= mid){
help[i++] = arr[p1++];
}
while (p2 <= R){
help[i++] = arr[p2++];
}
//System.out.print("此時的help數組為：");
for(i = 0; i < help.length; i++){
arr[L + i] = help[i];
//System.out.print(help[i]+" ");
}
// System.out.print(" 此時的L為："+L);
//System.out.println();
}
輸出結果：
數組排序為：1 1 2 3 4 4 6 67 89
解析：
T(N)母問題規模： 為數組長度，為N
T(N/d)子問題規模： 進行了倆次遞歸調用，每次的長度為數組長度的一半，即為N/2；
O(n)子問題以外的規模： 按照大小存儲數據到輔助數組help的時間復雜度為O(N),遍歷help存放到原數組arr的時間復雜度為O(N)，所有子問題以外的時間復雜度為O(N);
所以合並算法的master公式為： T(N) = 2 * T(N/2) + O(N)
符合 log b A = d 的情況，所以合並算法的時間復雜度為： O(N*logN)