算法初級面試題01——認識時間復雜度、對數器、 master公式計算時間復雜度、小和問題和逆序對問題

雖然以前學過，再次回顧還是有別樣的收獲~

 

認識時間復雜度

• 常數時間的操作：一個操作如果和數據量沒有關系，每次都是固定時間內完成的操作，叫做常數操作。
• 時間復雜度為一個算法流程中，常數操作數量的指標。常用O（讀作big O）來表示。具體來說，在常數操作數量的表達式中，只要高階項，不要低階項，也不要高階項的系數，剩下的部分如果記為f(N)，那么時間復雜度為O(f(N))。
• 評價一個算法流程的好壞，先看時間復雜度的指標，然后再分析不同數據樣本下的實際運行時間，也就是常數項時間。

 

 

例子一

一個簡單的理解時間復雜度的例子

 

一個有序數組A，另一個無序數組B，請打印B中的所有不在A中的數，A數組長度為N，B數組長度為M。

 算法流程1：對於數組B中的每一個數，都在A中通過遍歷的方式找一下；

 算法流程2：對於數組B中的每一個數，都在A中通過二分的方式找一下；

 算法流程3：先把數組B排序，然后用類似外排的方式打印所有在A中出現的數；

 三個流程，三種時間復雜度的表達...

 如何分析好壞？

 

 

例子二

 對數器的概念和使用

 0，有一個你想要測的方法a，

 1，實現一個絕對正確但是復雜度不好的方法b，

 2，實現一個隨機樣本產生器

 3，實現比對的方法

 4，把方法a和方法b比對很多次來驗證方法a是否正確。

 5，如果有一個樣本使得比對出錯，打印樣本分析是哪個方法出錯

 6，當樣本數量很多時比對測試依然正確，可以確定方法a已經正確。

import java.util.Arrays;

public class Code_01_InsertionSort {

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }

    public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[j] = arr[i] ^ arr[j];
        arr[i] = arr[i] ^ arr[j];
    }

    // for test
    public static void comparator(int[] arr) {
        Arrays.sort(arr);
    }

    // for test
    public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
        int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());
        }
        return arr;
    }

    // for test
    public static int[] copyArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return null;
        }
        int[] res = new int[arr.length];
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            res[i] = arr[i];
        }
        return res;
    }

    // for test
    public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
        if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
            return false;
        }
        if (arr1 == null && arr2 == null) {
            return true;
        }
        if (arr1.length != arr2.length) {
            return false;
        }
        for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
            if (arr1[i] != arr2[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    // for test
    public static void printArray(int[] arr) {
        if (arr == null) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            System.out.print(arr[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    // for test
    public static void main(String[] args) {
        int testTime = 500000;
        int maxSize = 100;
        int maxValue = 100;
        boolean succeed = true;
        for (int i = 0; i < testTime; i++) {
            int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
            int[] arr2 = copyArray(arr1);
            insertionSort(arr1);
            comparator(arr2);
            if (!isEqual(arr1, arr2)) {
                succeed = false;
                break;
            }
        }
        System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");

        int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
        printArray(arr);
        insertionSort(arr);
        printArray(arr);
    }

}

 

例子三

 

 冒泡排序細節的講解與復雜度分析

時間復雜度O(N^2)，額外空間復雜度O(1)

    public static void bubbleSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) {
            for (int i = 0; i < e; i++) {
                if (arr[i] > arr[i + 1]) {
                    swap(arr, i, i + 1);
                }
            }
        }
    }

 

例子四

選擇排序的細節講解與復雜度分析

 時間復雜度O(N^2)，額外空間復雜度O(1)

 

    public static void selectionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
            int minIndex = i;
            for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) {
                minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;
            }
            swap(arr, i, minIndex);
        }
    }

 

 

 

例子五

插入排序（類似整理撲克牌）的細節講解與復雜度分析

時間復雜度O(N^2)，額外空間復雜度O(1)

    public static void insertionSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {
                swap(arr, j, j + 1);
            }
        }
    }

 

例子六

剖析遞歸行為和遞歸行為時間復雜度的估算

 一個遞歸行為的例子

 master公式的使用

 T(N) = a*T(N/b) + O(N^d)  [a是過程發生次數，N/b是子問題，O(N^d)剩下的時間復雜度]

 

1) log(b,a) > d -> 復雜度為O(N^log(b,a))

 2) log(b,a) = d -> 復雜度為O(N^d * logN)

 3) log(b,a) < d -> 復雜度為O(N^d)

  

補充閱讀：www.gocalf.com/blog/algorithm-complexity-and-master-theorem.html

 

例子七

歸並排序的細節講解與復雜度分析

時間復雜度O(N*logN)，額外空間復雜度O(N)

    public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        mergeSort(arr, l, mid);
        mergeSort(arr, mid + 1, r);
        merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static void merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
    }

 

例子八

小和問題和逆序對問題

 

小和問題

在一個數組中，每一個數左邊比當前數小的數累加起來，叫做這個數組的小和。求一個數組的小和。

 

例子：

 [1,3,4,2,5]

 1左邊比1小的數，沒有；

 3左邊比3小的數，1；

 4左邊比4小的數，1、3；

 2左邊比2小的數，1；

 5左邊比5小的數，1、3、4、2；

 所以小和為1+1+3+1+1+3+4+2=16

 

逆序對問題

 在一個數組中，左邊的數如果比右邊的數大，則折兩個數構成一個逆序對，請打印所有逆序對。

    public static int smallSum(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return 0;
        }
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r) {
            return 0;
        }
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + mergeSort(arr, mid + 1, r) + merge(arr, l, mid, r);
    }

    public static int merge(int[] arr, int l, int m, int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while (p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while (p1 <= m) {
            help[i++] = arr[p1++];
        }
        while (p2 <= r) {
            help[i++] = arr[p2++];
        }
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[l + i] = help[i];
        }
        return res;
    }