Polya(置換)

Polya定理

本篇文章並不是詳細講解，而是加深自己的記憶

群：

群的定義： 集合 \(G\) 和作用於集合 \(G\) 的二元計算 \(×\)，滿足以下 \(4\) 個性質就記為 \((G,×)\)。

1. 封閉性：\(a,b∈G\), \(a × b∈G\)
2. 結合律：$ (a\times b)\times c = a\times (b\times c)$
3. 單位元: 存在 \(e∈G\) ，滿足對於任意 \(a\in G\) 有： \(a\times e = e\times a = a\) ,此時 \(e\) 被稱為單位圓。乘法運算就是一個群。
4. 逆元：對於任意 \(a\in G\) 存在 \(a'\in G\) 滿足 \(a\times a' = a'\times a = e\) ,此時 \(a'\) 唯一。

子群：

分為左陪集，右陪集。

陪集性質：

1. \(\forall g\in G,|H|= |Hg|\)
2. \(∀g∈G，g\in Hg\)
3. \(Hg = H\iff g\in H\)
4. \(Ha=Hb⟺a×b^{−1}∈H\)
5. \(Ha∩Hb\neq∅→Ha=Hb\)
6. \(H\) 的全體右陪集的並為 \(G\)

左陪集同理,證明省略2。

比較常見的表述：

若 \(H≤G\)，則 \(G/H\) 代表 \(G\) 中所有的 \(H\) 的左陪集即 \(\{gH,g\in G\}\)
若 \(H≤G\)，則 \([G:H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 的不同的陪集的數量

拉格朗日定理：

\[∣H∣×[G:H]=∣G∣ \]

置換：

定義：

雙行表示 \(\sigma\) 法：表示從上列 \(a\) 到下列 \(b\) 的置換，表示用第 \(a_i\) 個元素替換第 \(b_i\) 個元素。

\[σ=(a_1,a_2...a_n) \]

表示一個置換

每個置換就是一個這樣的排列,一個長度為 \(n\) 的不同的置換數量為 \(n!\).

運算:

表示為 \(\sigma(a)\),運算規則為： \(\sigma(a)=(a_{\sigma1},a_{\sigma2}...a_{\sigma n})\)

我們稱呼為置換的合成。

置換群：

我們令群 \(G=(M,×)\) ,其中 \(M\) 為 \(N={1,2,3...n}\) 集合的若干個排列構成的集合，此時若 \(G\) 滿足群的性質，\(G\) 就是一個置換群。

群作用：

分為左群作用和右群作用:

對於一個集合 \(M\) 和群 \(G\)：

若給定了一個二元函數 \(\phi(v,k)\) ，其中 \(v\) 為群中的元素， \(k\) 為集合元素，有：

\[\phi (e,k)=k(e) \]

\[\phi(g,\phi(s,k))=\phi(g \times s,k) \]

其中 \(e\) 為單位元，則群 \(G\) 作用於集合 \(M\).

軌道-穩定子定理

軌道-穩定子定理

Burnside 定理

定義 \(G\) 為一個置換群，定義其作用於 \(X\), 如果 \(x,y\in X\) 在 \(G\) 作用下可以相等，即存在 \(f\in G\) 使得 \(f(x)=y\) ,則定義 \(x,y\) 屬於一個等價類，則不同的等價類的數量為：

\[|X/G|=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} X^g \]

\(X^g\) 為 \(X\) 在 \(g\) 作用下的不動點的數量，即滿足 \(g(x)=x\) 這樣的 \(x\) 的數量。

文字版：\(X\) 在群 \(G\) 作用下的等價類總數等於每一個 \(g\) 作用於 \(X\) 的不動點的算數平均值。

綜上，就得到了 \(Burnside\) 定理。

本質不同的 \(n\) 個點的環可以看作：

在群 \(G\) 為 { 旋轉 \(0\) 個，旋轉 \(1\) 個...旋轉 \(n−1\) 個 } 這些置換作用下得到的等價類的數量。

同時我們定義集合 \(M\) 為 \(\{1\to n\}\) 的所有可能排列表示初始的環。

答案就為：

\[ans=\frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} M^g \]

旋轉 \(0\) 個的不動點為 \(n^n\) ，即所有集合都合法。

對於旋轉 \(k\) 個，\(gcd(k,n)\) 隨意取，貢獻為 \(n^{gcd(k,n)}\)

答案就是：

\[\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n n^{gcd(k,n)} \]

枚舉 \(gcd\) ,再運用歐拉函數，得到：

\[\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d \phi(\frac{n}{d}) \]

暴力計算即可算出。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
int T,n;
int qmi(int a,int b){
    int res=1; while(b){if(b&1) res=res*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1;} return res;
}
int phi(int x){
    int ans=x;
    for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
        if(x%i) continue;
        ans=ans-ans/i;
        while(x%i==0) x/=i;
    }
    if(x!=1) ans=ans-ans/x;
    return ans;
}
signed main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n; int cnt=sqrt(n),ans=0;
        for(int i=1;i<=cnt;i++){
            if(n%i) continue;
            int p1=phi(i),f1=qmi(n,n/i);
            f1=f1*p1%mod; ans=(ans+f1)%mod;
            if(i*i!=n){
                int p2=phi(n/i),f2=qmi(n,i);
                f2=f2*p2%mod; ans=(ans+f2)%mod;
            }
        }
        cout<<ans*qmi(n,mod-2)%mod<<endl;
    }
    system("pause");
    return 0;
}