我們比較熟悉均勻分布、二項分布等概率分布，那么 beta 分布是什么呢？
一句話，beta 分布表示 一種概率的 概率分布；
也就是說，當無法確定一件事的概率P時，我們可以把它所有概率P統計出來，然后每個P對應一個P'，P'就是 beta 分布；
下面我從多個角度具體闡述一下
生活案例
投籃命中率估計
熟悉籃球的朋友都知道，運動員投籃命中率大概在 21%-33% ，這叫先驗知識；
現在有一個人說自己投籃很准，那如何證明呢？
假如讓他投一次籃，命中了，我們能說他命中率 100% 嗎，顯然不行；
那讓他投1000次籃，看看進幾個，然后算命中率，也是不行的，早累死了，投到后面已經不是他自己了；
那怎么辦呢？此時就可以使用beta 分布；
1. 我們先把 先驗知識 轉換成 beta 分布的參數
beta 分布的均值為 𝛼/(𝛼+𝛽)=81/(81+219)=0.27 【在高斯分布里，均值就是概率最大的值，beta 分布不一定，這里是個特例】
故 beta 分布參數可取 𝛼=81，𝛽=219，顯然 𝛼 代表投進次數，𝛽 代表投丟次數； 【𝛼 也代表二項分布中 正向事件 發生的次數】
此時 beta 分布如下圖
可以看到 這個分布主要落在了 21-33之間，符合先驗知識
beta 分布 x 軸代表 各個投籃命中率，y 軸代表 各個命中率 的 概率；
2. 那上面這個人的投籃命中率怎么計算呢？
還是投一次，假如進了，(81+1)/(81+219+1)=0.2724，這個命中率顯然要比 100% 更可信，
繼續投吧，,投50次看看，假如進了30個，(81+30)/(81+30+219+20)=0.32，這個概率還算合理，比 60% 更可信
3. 此時我們就得到了這個人的投籃命中率為 0.32；
不是說概率的概率嗎，怎么只有概率，那是因為我們只拿 均值算了對應的概率，沒算 其他值對應的概率，如果把所有值得概率都算一遍，相當於把曲線平移一下
是不是所有概率都有 概率了，從圖中藍色曲線可以看出概率最大的投籃命中率為 0.32
數學角度
公式
B 為 beta 函數；
隨着 a b 的變化，beta 分布形態各異
這種特性能夠滿足各種先驗分布
貝葉斯推斷
先驗分布 + 實驗數據 = 后驗分布
(經驗) (投籃試驗) (投籃命中率)
beta 分布符合貝葉斯推斷
共軛先驗
beta(a, b) + 實驗數據 = beta(m, n) = beta(a + 投中次數, b + 投丟次數)
對於二項分布，用 beta 分布做先驗，經過貝葉斯推斷后，后驗分布依然是 beta 分布，這種特性稱為 共軛先驗
推理過程
假設拋硬幣正面朝上概率為 θ，拋 A+B 次，A 次正面朝上的概率為
這個 P 就是所謂的 在參數 θ 下實驗結果的可能性， 【在機器學習中，我們需要使這個概率最大，為1，這里我們不這么做】
我們要計算這個可能性，設
我們把 f(θ) 做一個歸一化，讓他的和變成 1，即變成一個概率，
做法很簡單，除以他的積分即可；
這個公式是不是和 beta 分布的公式很像呢；
對比一下就知道，beta 分布公式中，a 就是 正面朝上的次數，b 就是反面朝上的次數，x 就是 伯努利分布的概率 θ；
參考資料：
https://www.zhihu.com/question/30269898 如何通俗理解 beta 分布？