用例子理解Bbta分布（一）
Beta分布可以看做是分布之上的分布。我們以拋硬幣為例，不過，我們並不假設硬幣是均勻的（也就是說：並不假設每次拋硬幣，正面朝上的概率為0.5），所以拋硬幣的正面朝上的概率p是未知的（只知道p∈[0,1]）。如果進行一次二項分布試驗，在這次二項分布試驗中，拋硬幣10000次，其中正面朝上7000次，反面朝上3000次，我們可以得到，正負面朝上的概率分別為{p,1-p}={0.7,0.3}。但是我們並不確信這個結果是正確的。我們想要做10000次二項分布試驗，在每次二項分布試驗中，均拋硬幣10000次（說不定在其他二項分布實驗中，得到的正負面朝上的概率是{0.2,0.8}或者{0.6,0.4}，這些情況都有可能），那么，我們想要知道，在這樣的多次重復二項分布實驗中，拋硬幣最后得到正負面朝上概率為{0.7,0.3}這樣概率為多少？這就是在求拋硬幣的概率分布之上的分布。這樣的分布就叫做Beta分布。正如二項分布可以看做多次進行伯努利試驗所得到的分布一樣，Beta分布也可以看做是多次進行二項分布的試驗所得到的分布，是分布之上的分布。
用例子理解Bbta分布（二）
有一枚硬幣（不知道它是否公平），假如拋了三次，三次都是“花”，能夠說明它兩面都是“花”嗎？
1. 貝葉斯推斷
按照傳統的算法，拋了三次得到三次“花”，那么“花”的概率應該是：P = 3/3 = 100%。但是拋三次實在太少了，完全有可能是運氣問題。我們應該怎么辦？
貝葉斯認為在實驗之前，應根據不同的情況對硬幣有所假設。不同的假設會得到不同的推斷。
比如和滑不溜手的韋小寶玩。韋小寶可能拿出各種做過手腳的硬幣,讓我們猜不透,只能假設對硬幣一無所知。這種假設之下,我們就只能根據實驗結果來猜測。因此，實驗結果是“扔三次，三次花”,傾向於認為韋小寶有可能作弊：
大俠陳近南用的可能是公平硬幣：
而憨壞的多隆，真的有可能用兩面“花”來和你玩：
各種假設稱為先驗分布，結合剛才“扔三次，三次花”的實驗數據，推斷出硬幣的后驗分布，這就是貝葉斯推斷：
2.Beta分布
那么問題來了，“先驗分布”，“后驗分布”用數學怎么表示？對於扔硬幣，Beta分布非常適合用來完成這個任務。
2.1 先驗分布
Beta分布簡記為：Beta（a,b），根據a,b參數的不同，形態各異：
在韋小寶面前，我們對硬幣一無所知。貝葉斯說，一無所知也就是意味着任何概率都是一樣的，都是有可能的，所以選用均勻分布。Beta(1,1)正好就是均勻分布：
正直的陳近南，可能用的是公平硬幣，也就是說概率在0、1之間（0表示“字”，1表示“花”），Beta(5,5,)可以表示這樣的分布：
而憨壞的多隆，可能用了兩面花，也就是說概率可能集中到1附近，Beta(5,1)可以表示這樣的分布：
也就是說可以用Beat 分布來模擬各種先驗分布：
一無所知：Beta(1,1)
公平硬幣：Beta(5,5)
兩面花：Beta(5,1)
2.2 后驗分布
用Beta分布來模擬扔硬幣的先驗分布之后，通過貝葉斯推斷，得到的后驗分布依然是Beta分布：
具體到這個例子：
再具體到韋小寶的情況就是：
圖像上的變化就是：
可以看到，作弊的可能性還是比較大的。
陳近南的情況：
結合試驗數據之后，圖像的中心從0.5往0.6方向移動了，作弊可能性有所增加，不過總體來看應該還是公平硬幣的可能性大。
多隆的情況：
更向1集中，作弊的可能性非常高。
3 代數細節
3.1 貝葉斯推斷
貝葉斯推斷：
的應用到二項式分布的數學細節如下。假設實驗數據
服從二項分布：
上面的式子根據貝葉斯定理可以表示為：
其中
為“花”的次數。分母與實驗數據無關，可以視作常數：
因此，寫成下面這樣更容易看清楚重點（其中
表示兩者之間成比例）：
3.2 Beta分布
3.3 共軛先驗
對於二項式分布，用Beta 分布作為先驗分布，通過貝葉斯推斷之后，后驗分布依然是Beta分布：
這種特性稱為共軛先驗。
參考資料：
伯努利分布、二項分布、Beta分布、多項分布和Dirichlet分布與他們之間的關系，以及在LDA中的應用【存疑】