【算法】差分法

1、介紹

一般地，差分主要用於讓一個序列某一特定范圍內的所有值都加上或減去一個常數。

所以差分往往應用於線性的場合，即一維數組的環境，但是除此之外，差分還可以應用於二維數組，但是相比較一維數組，應用的較少。

2、定義

差分可以簡單的看成序列中每個元素與其前一個元素的差。

3、差分與前綴和

const int N = 100010;
int n; //n數組長度
//定義兩個一維整形數組 a為原數組，b為差分數組
int a[N],b[N];  
​
//根據定義可知
b[i] = a[i] - a[i-1];
//稍微具體
b[1] = a[1];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] = a[3] - a[2];
...
b[i] = a[i] - a[i-1];
​
//轉化一下，求數組b的前綴和,根據上面公式可得
  b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i]
= a[1]+(a[2]-a[1])+(a[3]-a[2])+...+(a[i]-a[i-1])
= a[i]
​
//由此可知，原序列為差分序列的前綴和序列
a[i] = b[1]+b[2]+b[3]+...+b[i];

 一般地，我們認為原序列就是差分序列的前綴和，所以把差分看做前綴和的逆運算

4、舉例通俗理解

上下車的問題
10人在1時上車，3時下車
20人在2時上車，4時下車
25人在2時上車，5時下車
那么，我們用一個數組ans記錄車輛人數變化,ans[i]表示在i時刻人數變化，所以：
ans[i]的值為+x，即在i時刻車輛增加x人
ans[i]的值為-x，即在i時刻車輛減少x人
如果要計算某一個時刻的人數，公式為：ans[i-1]+ans[i]

5.練習題

這里有 n 個航班，它們分別從 1 到 n 進行編號。
​
有一份航班預訂表 bookings ，表中第 i 條預訂記錄 bookings[i] = [firsti, lasti, seatsi] 意味着在從 firsti 到 lasti （包含 firsti 和 lasti ）的 每個航班 上預訂了 seatsi 個座位。
​
請你返回一個長度為 n 的數組 answer，其中 answer[i] 是航班 i 上預訂的座位總數。
​
示例 1：
​
輸入：bookings = [[1,2,10],[2,3,20],[2,5,25]], n = 5
輸出：[10,55,45,25,25]
解釋：
航班編號        1   2   3   4   5
預訂記錄 1 ：   10  10
預訂記錄 2 ：       20  20
預訂記錄 3 ：       25  25  25  25
總座位數：      10  55  45  25  25
因此，answer = [10,55,45,25,25]
示例 2：
​
輸入：bookings = [[1,2,10],[2,2,15]], n = 2
輸出：[10,25]
解釋：
航班編號        1   2
預訂記錄 1 ：   10  10
預訂記錄 2 ：       15
總座位數：      10  25
因此，answer = [10,25]

 

class Solution {
    public int[] corpFlightBookings(int[][] bookings, int n) {
        //定義長度為n的數組
        int[] answer = new int[n];
        //遍歷數組參數
        for (int[] i:bookings) {
            //對應的數組下標的值增加
            answer[i[0]-1]+=i[2];
            if (i[1]<n) {
                //對應的數組下標的值減少
                answer[i[1]]-=i[2];
            }
        }
        //前綴和
        for (int i = 1; i <answer.length; i++) {
            answer[i]+=answer[i-1];
        }
        return answer;
    }
}