矩陣優化

矩陣運算

加減：要求行列數一致，對應位相加減

乘：對於 \(A * B\)，答案 \(ans[i][j]=\sum a[i][k] * b[k][j]\)，要求第一個矩陣列數等於第二個矩陣行數。注意矩陣乘法具有結合律但不具有交換律

矩陣求逆：需要用到行列式，暫咕

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矩陣優化遞推

最常見的斐波那契有遞推式 \(f_i=f _ {i-1}+f _ {i-2}\)
如果只需要知道第 \(n\) 項的值（\(n\) 很大），可以這樣做：

定義初始矩陣：

\[A=\begin{bmatrix} f _ {i-2}& f _ {i-1} \end{bmatrix}\]

要乘一個轉移矩陣 \(B\) 結果為答案矩陣

\[C=\begin{bmatrix} f _ {i-1}& f _ {i} \end{bmatrix}\]

那么 \(B\) 可以構造為：

\[\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}\]

通過定義可以證明這樣構造是對的

根據矩陣的結合律，最終要乘 \(n\) 次轉移矩陣，不妨先求轉移矩陣的 \(n\) 次方然后再乘初始矩陣
而 \(n\) 次方可以快速冪優化

下面采用重載運算符處理矩乘運算

代碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
int n;
struct Mat{
	int a[2][2];
	Mat(){a[0][0]=a[1][0]=a[0][1]=a[1][1]=0;}
};
Mat operator * (Mat b,Mat c){
	Mat ans;
	for(int i=0;i<=1;i++){
		for(int j=0;j<=1;j++){
			for(int k=0;k<=1;k++){
				ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+b.a[i][k]*c.a[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return ans;
}
Mat po(Mat a,int b){
	Mat ans;
	ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
signed main(){
	cin>>n;
	if(n==1||n==2){
		cout<<1;
		return 0;
	}
	Mat c;
	c.a[0][1]=c.a[1][0]=c.a[1][1]=1;
	Mat p=po(c,n-2);
	Mat b;
	b.a[0][0]=b.a[0][1]=1;
	b=b*p;
	cout<<b.a[0][1];
	return 0;
}

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矩陣優化圖上問題

對於圖上的 \(dp\)，有限制為與一個點有連邊的點才能轉移
而如果進行多次這樣的操作，可以用矩陣把狀態的轉移記錄下來，用快速冪優化

P2233 [HNOI2002]公交車路線

比如這道題，除了終點一個點可以向相鄰點連邊，那么表達在矩陣上即為 \((i,i+1)\) 以及 \((i，i-1）\) 的位置為 \(1\)
快速冪后即可知道方案數是多少了

代碼實現

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1000;
const int m=8;
int n;
struct Mat{
	int d[10][10];
	Mat(){memset(d,0,sizeof d);}
};
Mat operator * (Mat a,Mat b){
	Mat ans;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=m;k++){
				ans.d[i][j]+=a.d[i][k]*b.d[k][j]%mod;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++)ans.d[i][j]%=mod;
	return ans;
}
Mat po(Mat a,int b){
	Mat ans;
	for(int i=1;i<=m;i++)ans.d[i][i]=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*a;
		a=a*a;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n;
	Mat a;
	for(int i=1;i<=m-1;i++){
		if(i==4)continue;
		a.d[i+1][i]=1;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(i==6)continue;
		a.d[i-1][i]=1;
	}
	a.d[m][1]=a.d[1][m]=1;
	Mat ans=po(a,n);
	Mat k;k.d[1][1]=1;
	k=k*ans;
	cout<<k.d[1][5];
	return 0;
}