ACM中的矩陣優化總結

一、矩陣相乘

　　設C,A,B三個矩陣，C = A * B

　　則C[i][j] = ∑A[i][k] * B[k][j] （k = 0，1，2，...n-1）

　　矩陣相乘就是這么算的，依次用前面矩陣的每一行，依次乘后面矩陣的每一列，i就是行，j就是列。所以矩陣相乘就不滿足交換律。

　　實現 ： 3個變量，3重for循環。

二、矩陣快速冪（仿二分快速冪）　　

　　計算Aⁿ ：

　　將矩陣TEMP置為E單位矩陣

　　if n為奇數

　　　 TEMP = TEMP * A ;

　　　 n--;

　　if n為偶數

　　　 A = A  * A ;

　　　 n /= 2;

　　循環到n為0，TEMP就是答案

　　//10⁹也承受不住30多次除2，時間復雜度0(logn * N³)，N為矩陣階數（N*N矩陣），這樣的話100階矩陣也有超時的危險。

 　　

　　  推薦題目 ： http://poj.org/problem?id=3233

　  解題報告 ： 點這里 (代碼寫的很一般)

三、矩陣優化遞推式

　　F（n）= A * F（n-1）

　　上面都是矩陣，根據矩陣的結合律，這個式子可以化為F（n）= A^n-1 * F（1）

　　這樣求A^n-1用矩陣快速冪去求，計算原問題的時間復雜度就從0(n)優化成了O(logn)。

　　一般難點是在怎么化為標准的式子（方程組化為矩陣）

　　題目鏈接 ： http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=301

　　題目描述 ：

　　　　給你一個遞推公式：f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c，並給你f(1),f(2),a,b,c的值，請求出f(n)的值，由於f(n)的值可能過大，求出f(n)對1000007取模后的值。

 　　　   注意 : -1對3取模后等於2，1<=n<=100000000 (10^9)

　　解析 ：

　　化為標准式只有一個原則，F（n）的每個變量i，都對應着F（n-1）的每個變量i-1，有常量項就都為1。

　　舉個栗子，看題目的遞推公式，顯然左邊還缺了個x-1來對應右邊的x-2，所以

　　　　　　　　　　　f(x) = a*f(x-2)+b*f(x-1)+c*1

　　　　　　　　　　f(x-1) = 0*f(x-2)+b*f(x-1)+0*1

 

　　　　　　　　　　　　1 = 0*f(x-2)+0*f(x-1)+1*1

　　將這個方程組化為矩陣

　　

　　再化

　　

　　就OK了！

　　*優化求斐波那契項是不是就很簡單了

　　*推薦題目 ： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5950

　　  *對一個二維dp的優化，題目鏈接 ： 點這里

　　　dp分析：dp[i][j] = ( dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] )%2   //i表示第i秒，j表示第j個燈，注意下j=0的情況

　　　　　　這個就不能像前面一樣，二維，而且j變量就根本不能那樣處理。。。。。

　　　　　　所以...

　　　　　　枚舉j，如果0≤j≤N。

　　　　　　dp[i][0] = ( dp[i-1][0] + dp[i-1][N] )%2

　　　　　　dp[i][1] = ( dp[i-1][1] + dp[i-1][0] )%2

　　　　　　......

　　　　　　dp[i][N] = ( dp[i-1][1] + dp[i-1][N-1] )%2

　　　　　　好像每次換一排燈，每個方程改變一個燈　　　　

四、其它應用

　　1，轉換

　　有些轉換可以等價於乘上了一個矩陣，那么多次轉換就好像依次乘了幾個矩陣，然后再用結合律...