快速冪是什么
如果要我們求某個數的冪 \(a^{n}\) ，我們的朴素算法，也就是最最簡單的做法，自然是先設一個表示最終結果的變量ans，初值為1，然后for循環n次，每次都用a去乘ans啦，最后ans被乘完之后就是我們的冪的結果。但是如果我們這個數很大的話，那么就要進行很多次循環，這樣速度是很慢的，所以我們會想要用一種算法來改進，這就叫做快速冪。
快速冪的思路
我們本來的朴素算法中，如上文所說，就需要設一個變量ans，初值為1，用它表示最后的得數，在過程中要乘很多次底數嘛，最后整個冪計算函數就返回該變量。那么在快速冪算法中，我們同樣需要首先設一個ans，初值為1。
對於任意一個冪運算 \(a^{b}\) ，我們的基本思路其實是二分的思想。如果b是偶數，且b/2=c，那么我們可以將 \(a^{b}\) 轉化成 \((a^{2})^{c}\) ，也就是指數縮小一半而底數變為原來的兩次方。當b很大的時候，這樣做就減少了很多次循環（假設b=10000那么就減少了5000次循環）。
但是如果b很大，然后b / 2=c，c也很大，那這個時候還得接着往下除以二，但如果c變成了奇數（或者另一種情況，本來最開始的b就已經是奇數了）這時候應該怎么辦呢？
現在要對 \(a^{c}\) 進行處理，並且c是奇數，那么我們可以在 c 中取一個1出來，也就是說將 \(a^{c}\) 化為 \(a^{c-1} \times a^{1}\) 。這樣的話c-1又可以對半分了，然后整個式子中就由左邊的 \(a^{c-1}\) 和右邊的 \(a^{1}\) 組成，右邊部分已經是1次方了不用再優化，左邊的a的偶數次方可以再進行優化。
既然右邊部分已經是a的1次方了，沒法再優化了，那么每次我們拆出一個a的1次方時，我們就可以直接把它存進上文提到的這個ans中，即ans *= 這個a的一次方。
那么這樣二分下去，底數會一直變大，而指數會一直變小，到最后指數肯定會縮小到剩余的部分變為（a的某次方）^2那么它再分解就是兩個1次方了，根據我們上面的規則，一旦拆出了指數為1 的乘項，就直接把它乘進ans中。那么最后當指數變為零的時候，循環也就結束了，也就得到了我們所要的結果了。
那么我們可以來看一下上述思想如何實現，計算 \(base^{power}\)就可以這么寫：
long long fastpower(long long base, long long power) {
long long ans = 1;
while (power > 0){
if ( power % 2 == 0 ){ //指數是偶數，直接除以二
power = power / 2; //指數縮小一半
base = base * base;//底數為原來的兩次方
}
else{ //指數是奇數
power = power – 1; //先拆出一個base的一次方，拆完就變成偶數了
ans = ans * base ; //base的一次方乘進結果中
power = power / 2; //指數縮小一半
base = base * base;//底數為原來的兩次方
}
}
return ans;
}
快速冪的優化
上述的算法在某些部分還可以進行優化
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對於power = power – 1; 和power = power / 2; 這兩句話，其實可以合並為一句話：power = power/2; 因為在這個分支中power一定是奇數，那么在C++中，奇數/2 也就是就是它-1再除以2 。
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if 和 else 兩個分支其實都要進行power = power / 2 和base = base * base 兩個操作。
第二個power為奇數的分支其實就是多了個拆出一次冪的過程，那么我們可以在一開始就進行判斷是否為奇數，如果是就拆出一次冪，如果不是就不做操作，然后進行兩個分支都要進行的操作。
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最后還有一個優化，在程序中需要判斷的是是否為奇數和將這個數除以2的操作，這兩個操作如果改用位運算的話，會顯著提高計算效率。
對於任意一個數，如果它是奇數，那么它的二進制數最低位一定是1，反之一定是0；那么我們可以使用按位與操作，將這個數與1按位與，這樣的話如果得數是1則說明數字是奇數，而得數是0的話說明該數是偶數，（1就是0000001，其高位全都是0，按位與操作得到的全都會是0） 然后對於a = a/2的操作，也可以用位運算 ，將一個數的二進制表示的每一位都向右移動一位，即為將其除以2。
快速冪的最簡模板
為啥這里加了個mod呢？因為很多題的答案都是非常大的，可能long long都存不下，那這個時候題目就會要求你將所有的答案都以模p的形式給出來。p也就是下面代碼中的mod。
typedef long long ll;
ll mod_pow(ll base ,ll pow , ll mod){
ll res = 1;
while(pow > 0){
if( pow & 1 ) res = res * base % mod; //pow是奇數
base = base * base % mod; //pow是偶數
pow >>= 1;
}
return res;
}
另外，印象中有一個題中，pow非常大，這個時候需要用到歐拉定理來進行降冪操作，直接用 pow % φ（n）。
具體細節想不起來了，想起來了再更新。