熬了幾個通宵，終於把初中到大學的數學知識梳理完了（學習算法必備數學知識）

作者簡介：常遇，阿里巴巴高級技術專家，一直關注前端和機器學習鄰域相關技術，在知乎和微信公眾號的“全棧深入”分享深度硬核技術文章。

下面的基礎數學知識涉及很多數學公式，這些公式編輯起來累S我了。如果你覺得有幫助請幫忙點個贊、收個藏，這是對我幾天寫這篇文章的最大鼓勵了，謝謝大家！也歡迎大家關注我的微信公眾號：全棧深入。

在機器學習的過程中，用到了很多算法知識，而算法中用到很多推導和計算，涉及到很多初中數學、高中數學、高等數學中的知識。在市面的機器學習書籍中，往往最基礎的代數運行、多項式運算、函數等沒有涉及，這對很多畢業多年的人來說或數學基礎不好的人來說，在學習的過程中並不是很順暢。而市面也沒有一本數學大全將不同的數學知識涵蓋起來。因此，筆者梳理了人民教育出版社的初中數學、高中數學，同濟大學出版的高等數學中算法學習相關的16個知識點，方便學習和復習。關注 全棧深入 公眾號並發送 數學 到聊天窗口下載初中數學合集，高中數學合集PDF。

數學包括對數量（數論/算術）、結構（代數）、空間（幾何）、變化（分析）的研究，還包括邏輯、集合、應用數學等的研究。

01、初中數學 - 數論中的數學概念

• 整數：正整數，0，負整數統稱為整數

• 分數：正分數，負分數統稱為分數

• 有理數：整數和分數統稱為有理數（rational number)

• 相反數：正負的兩個數互為相反數(opposite number)

• 倒數：一個數x與其相乘為1的數，記為1/x，其中x!=0

• 無理數：無限不循環小數叫無理數，包括正負無理數，如很多數的平方根或立方根是無理數。如2–√,3–√32,33。

• 實數：有理數 + 無理數統稱為實數。包括正實數 + 負實數。對應平面上的橫軸。

• 虛數：將偶指數冪是負數的數定義為純虛數（形如a+bxi的數，其中a,b是實數，且b≠0,i²=-1。a為實部，b為虛部），虛數無算術根。對應平面上的縱軸。

• 復數：實數 + 虛數稱為復數。
  

02、初中數學 - 整式乘法

1、多項式相乘

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)

⇒ap+aq+bp+bq⇒ap+aq+bp+bq

2、平方差公式

formula for the difference of squares：兩個數的和與兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差。

(a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a−b)=a2−b2

3、平方和公式

formula for the square of the sum：兩個數的和（或差）的平方，等於他們的平方和，加上（或減去）它們積的2倍。

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2

4、因式分解

a2−b2=(a+b)(a−b)a2−b2=(a+b)(a−b)
a2+2ab+b2=(a+b)2a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2a2−2ab+b2=(a−b)2

03、初中數學 - 一元二次方程

ax2+bx=−cax2+bx=−c
⇒x2+bax=−ca⇒x2+bax=−ca
⇒x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2⇒x2+bax+(b2a)2=−ca+(b2a)2
⇒(x+b2a)2=b2−4ac4a2⇒(x+b2a)2=b2−4ac4a2
⇒x=±b2−4ac4a2−−−−−√−b2a⇒x=±b2−4ac4a2−b2a
⇒x=−b±b2−4ac√2a⇒x=−b±b2−4ac2a
⇒得到兩個不相等的實根：x1=−b+b2−4ac√2a,x2=−b−b2−4ac√2a⇒得到兩個不相等的實根：x1=−b+b2−4ac2a,x2=−b−b2−4ac2a

04、初中數學 - 多項式

Polynomial,由稱為未知數的變量和稱為系數的常數通過有限次加減法、乘法以及自然數冪次的乘方運算得到的代數表達式。

單項式：僅由一項構成的多項式稱為單項式
常數項：一項中不含未知數

示例
x2+3x−4x2+3x−4 為三項一元二次多項式
x3+2y2−4zx3+2y2−4z 為三項三元三次多項式

應用
1、多項式的加減乘除
2、多項式的矩陣乘除
3、因式分解
4、多項式方程、函數

05、高中數學 - 集合

把對象稱為元素(element)，把元素組成的總體叫集合，簡稱集(set)。如果兩個集合的元素相同則兩個集合相等。

• a屬於集合記為：a∈Aa∈A
• a不屬於集合B記為：a∉Ba∉B

1、集合的表示

列舉法：把集合里的所有元素一一列舉出來，並用 {} 括起來表示集合的方法。如：{a,b}
描述法：無法用列舉法表示的無窮個元素的集合，利用集合中元素的共同特征來表示的方法。如：{x∈R|x<10}{x∈R|x<10}

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2、集合的關系

1）子集
對於兩個集合A和B，如果集合A中任意一個元素都是B中的元素，則稱集合A為B的子集。記作：A⊆BA⊆B 或 B⊇AB⊇A

韋恩圖(Venn)：平面上封閉曲線的內部代表集合。

子集韋恩圖：

2）真子集
如果集合 A⊆BA⊆B，但存在元素 x∈Bx∈B，且 $ x \notin A，則稱集合A是集合B的真子集(propersubset)。記作：，則稱集合A是集合B的真子集(propersubset)。記作：A \subseteqq B$ 或 A⫆BA⫆B

3）空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)。記作：∅∅

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3、集合的基本運算

1）並集
由所屬集合A及所屬集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的並集(union set)，記作：A∪BA∪B。即:A∪B={x|x∈A,或x∈B}A∪B={x|x∈A,或x∈B}

2）交集
由屬於集合A且屬於集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集(intersection set)，記作：A∩BA∩B。即:A∩B={x|x∈A,且x∈B}A∩B={x|x∈A,且x∈B}

3）全集
一個集合包含研究問題中涉及的所有元素，則該集合為全集(universe set)，記作U。

4）補集
對於一個集合，由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集(complementary set)，記作：CUACUA，即：CUA={x|x∈U,且x∉A}CUA={x|x∈U,且x∉A}

06、高中數學 - 充要條件

1、真命題

若p，則q，即由p可以推出q，記作：p⇒qp⇒q。

• p是q的充分條件(sufficient condition)
• q是p的必要條件(necessary condition)

2、假命題

若p，不能得出q，即由p不能得出結論q。記作：p⇏qp⇏q

3、逆命題

“若p，則q” 中的條件p和結論q互換，得到一個新的命題 “若q，則p”，則該命題為原命題的逆命題。

4、充要條件

“若p，則q” 中的條件p和結論q互換，得到一個新的命題 “若q，則p”，均為真命題，即：p⇐qp⇐q，又 q⇒pq⇒p，記作：p⇔qp⇔q。

此時 p即是q的充要條件，也是q的必要條件，則說p是q的充分必要條件，簡稱充要條件(sufficient adn necessary condition)

5、全稱量詞

短語 “所有的”、“任意一個” 在邏輯中通常叫做全稱量詞(universal proposition)。用符號：∀∀ 表示。

含有全稱量詞的命題稱為全稱量詞命題(universal proposition)。

對於M中任意一個x, p(x)成立，記作：∀x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)

6、存在量詞

短語 “存在一個”，“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞(existential quantifier)，用符號：∃∃ 表示。

含有存在量詞的命題稱為存在量詞命題(existential proposition)。

存在M中的元素x，p(x)成立，記作：∃x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)

7、全稱量詞的否定

∀x∈M,p(x)∀x∈M,p(x)
否定：
∃x∈M,¬p(x)∃x∈M,¬p(x)

8、存在量詞的否定

∃x∈M,p(x)∃x∈M,p(x)
否定：
∀x∈M,¬p(x)∀x∈M,¬p(x)

07、高中數學 - 函數