思考題的引入
首先看這樣一道思考題：
如何用正則表達式識別所有是三的倍數的二進制串？
考慮最暴力的做法。用一個變量rem表示一個串的前綴作為二進制對3的余數，對新進來的字符討論：
- 進來一個
0，則rem=(rem<<1)%3;，因為我們是從高位向低位讀的 - 進來一個
1，則rem=((rem<<1)+1)%3
那么只需要判斷最終rem是否為0就好了
自動機的做法
在做這題之前，可以先想想這樣的一個問題：
如何用自動機識別所有是三的倍數的二進制串？
或者說
如何用自動機表示上述暴力做法？
注意到rem的取值只能為0,1,2，因此可以建3個點，每個點兩條出邊表示對不同字符的處理轉移，那么建出來的圖如下
其中節點1,2,3分別表示rem對應為0,1,2的狀態。
"但是問題還沒完啊，你不是要正則表達式嗎"
做到這一點需要一些前置姿勢
正則表達式代數
沒錯！正則表達式也是有代數結構的！
為了方便，我們規定連接運算(concatenation)用.符號表示
| 符號 | 性質 |
|---|---|
| | | 結合律，交換律，對.的分配率 |
| . | 結合律 |
| ^ | 冪等律 |
它們的優先級從上到下遞增
那么自然應該想到，列出正則表達式的代數方程，也是可以解方程的
Arden's Theorem
定理的內容很簡單，即對於形如 \(x=A|xB\) 的方程，\(x\) 的解都是 \(AB^*\) 的形式
對解的長度進行歸納。當 \(n=1\)， \(x_1=A\) 是原方程的一個解，滿足 \(x=AB^*\) 的形式
設當 \(n<k\) 時成立，則 \(x_{n-1}=A\overbrace{B\ldots B}^{n-1\text{個}B}\)，帶入方程右側就有 \(x_n=x_{n-1}B=A\overbrace{B\ldots B}^{n\text{個}B}\)
由數學歸納法可知原方程的解都是 \(x=AB^*\) 的形式，並且容易驗證形如 \(AB^*\) 的串都是方程的解。
類似的也有對 \(x=A|Bx\) 的結論
自動機到正則表達式的轉換
我們知道，自動機的每個狀態都對應着一個接受串的集合(從初始狀態到當前狀態所有路徑組成的串的並)，而不同狀態之間存在轉移關系
那么就可以設未知數列方程辣！
對於最開始的那個DFA，我們可以設它的三個狀態對應的接受串的正則表達式為\(x_0,x_1,x_2\)，那么有如下關系
對式3用Arden's Theorem得到\(x_2=x_101^*\)
代入式2得到 \(x_1=x_01|x_101^*0=x_01(01^*0)^*\)
代入式1得到 \(x_0=x_00|x_01(01^*0)^*=x_0(0|1(01^*0)^*)=(0|1(01^*0)^*)^*\)
於是就得到了與該自動機等價的正則表達式
需要注意的是，在這個表達式中，我們認為可以有任意的前綴零，並且空串和任意長度的0串都是3的倍數
升華一下
如果你樂於思考，就會發現我們上述"消元"過程意味着什么——我們在化簡自動機的狀態！
也就是說，假如我們要求得表示DFA從起點到終點e的串的集合的正則表達式，那么我們只需要合並掉除起點和e以外的所有狀態即可。