DFA-[Deterministic Finite Automaton]
在計算理論中，確定有限狀態自動機或確定有限自動機（英語：deterministic finite automaton, DFA）是一個能實現狀態轉移的自動機。對於一個給定的屬於該自動機的狀態和一個屬於該自動機字母表Σ的字符，它都能根據事先給定的轉移函數轉移到下一個狀態（這個狀態可以是先前那個狀態）。
可以通過建立狀態機來解決問題。
每次輸入都會引起狀態的改變或者不變。再次輸入一個值，狀態又會改變。
我們把所有狀態羅列出來，每次輸入都改變他的狀態。如果最后的狀態是合法的，那么證明這個輸入符合條件。
相應的數學建模中也用到類似的算法思想，解決商人過河問題、人狼羊菜過河問題，以及操作系統中也有涉獵，輸出進程安全序列也是類似的思想
DFA是一個由五元組定義的數學模型：M=(S，∑，δ，s0，F)
（2）S是一個有窮狀態集合
（3）∑是一個有窮的輸入字母表
（4）δ是狀態轉換函數，是SX∑->S上的單值部分映射，δ(s,a)=s'(s∈S,s'∈S)
（5）s0是唯一初態
（6）F是終態集合，F是S的子集
NFA
M = ( S，Σ ，δ，s0，F )
（1） S：有窮狀態集
（2）Σ：輸入符號集合，即輸入字母表。假設ε 不是Σ中的元素
（3）δ：將S×Σ映射到2S的轉換函數。s∈S, a∈Σ, δ(s,a)表示從狀態s出發，沿着標記為a的邊所能到達的狀態集合
（4）s0：開始狀態 (或初始狀態)，s0∈S
（5）F：接收狀態（或終止狀態）集合，F⊆ S
dfa和nfa的區別
| NFA | DFA | |
| 初始狀態 | 不唯一 | 唯一 |
| 弧上的標記 | 字(單字符字/ε) | 字符(串) |
| 轉換關系 | 非確定 | 確定 |
兩個DFA的等價指的是對任何兩個DFA,M和M'，如果L(M)=L(M')，則稱兩者是等價的
NFA的確定化-子集法
思路：DFA的每一個狀態對應於NFA的一組狀態，用DFA的一個狀態去記錄NFA輸入一個符號后可能達到的狀態集合
（1）狀態集合I的閉包ε-Closure(I)，定義
- 若q∈I，q∈ε-Closure(I)
- 若q∈I，設從q出發經過任意條ε弧能達到的狀態為q‘，則q’∈ε-Closure(I）
（2）狀態集合I的a弧轉換表示為Ia，Ia=ε-Closure(move(I,a))
DFA的最小化
對於給定的DFA M,尋找一個狀態數比M小的DFA M'使得L(M)=L(M')
1.狀態的等價性：
假設s和t為M的兩個狀態(終態和非終態)
①若分別從狀態s和狀態t出發都能讀出某個字α而停止於終態，則稱s和t等價
②存在一個字α，使得s和t一個讀出α停止於終態，另一個讀出α停止於非終態，則稱s和t可區別
2.基本思想：
①把M的狀態集分為一些不相交的子集，使任何兩個不同子集狀態是可區別的，而同一子集的任何兩個狀態是等價的
②讓每個子集選出一個代表，同時消去其他狀態
3.划分
①把S划分為終態和非終態兩個子集，形成基本划分∏
②假定某個時候∏已含m個子集，記為∏={I(1),I(2),…,I(m)},檢查∏中的每個子集能否進一步划分：
(a)假定s1和s2是I(i)={s1,s2,…sk}中的兩個狀態，它們經過a弧分別到達t1和t2,而t1和t2屬於現行∏中的兩個不同子集，則s1和s2不等價
(b)一般地，對於某個I(i),若Ia(i)落於現行∏中N個不同的子集，則應把I(i)划分成N個不相交的組
例：
正則表達式
語言 L = { a } { a , b } ∗ ( { ϵ } ∪ ( { . , _ } { a , b } { a , b } ∗ ) ) L=\{a\}\{a,b\}^*(\{\epsilon \} \cup (\{.,\_\}\{a,b\}\{a,b\}^*))L={a}{a,b}∗({ϵ}∪({.,_}{a,b}{a,b}∗))
這個語言是指，由a開頭，后接任意長度的a、b串，然后再接空串（代表結束）。或者是接以.或_開頭的，后接長度大於等於1的a、b串。
正則表達式（Regular Expression, RE）是一種用來描述正則語言的更緊湊的表示方法。
以上面的語言舉例，寫成正則表達式則可表示成：r = a ( a ∣ b ) ∗ ( ϵ ∣ ( . ∣ ) ( a ∣ b ) ( a ∣ b ) ∗ ) r=a(a|b)^*(\epsilon | (.|_)(a|b)(a|b)^*)r=a(a∣b)∗(ϵ∣(.∣)(a∣b)(a∣b)∗)
正則表達式可以由較小的正則表達式按照特定規則遞歸地構建。每個正則表達式r定義一個語言。記為L(r)。這個語言也是根據r的子表達式所表示的語言遞歸定義的。
定義
- 如果ϵ \epsilonϵ是一個RE，L ( ϵ ) = { ϵ } L(\epsilon) = \{\epsilon\}L(ϵ)={ϵ}
- 如果α ∈ ∑ \alpha \in \sumα∈∑，則α \alphaα是一個RE,L ( α ) = { α } L(\alpha)=\{\alpha\}L(α)={α}
- 假設
r和s都是RE，表示的語言分別是L(r)和L(s)，則- r ∣ s r|sr∣s是一個RE，L ( r ∣ s ) = L ( r ) ∪ L ( s ) L(r|s) = L(r) \cup L(s)L(r∣s)=L(r)∪L(s)
rs（r連接s）是一個RE，L ( r ∣ s ) = L ( r ) L ( s ) L(r|s) = L(r)L(s)L(r∣s)=L(r)L(s)- r ∗ r^*r∗是一個RE，L ( r ∗ ) = ( L ( r ) ) ∗ L(r^*) = (L(r))^*L(r∗)=(L(r))∗
- ( r ) (r)(r)是一個RE，L ( ( r ) ) = L ( r ) L((r)) = L(r)L((r))=L(r)
注：運算的優先級：*、連接、|
例：∑ = { a , b } \sum = \{a,b\}∑={a,b}，則
- L ( a ∣ b ) = L ( a ) ∪ L ( b ) = { a } ∪ { b } = { a , b } L(a|b) = L(a) \cup L(b) = \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\}L(a∣b)=L(a)∪L(b)={a}∪{b}={a,b}
- L ( ( a ∣ b ) ( a ∣ b ) ) = L ( a ∣ b ) L ( a ∣ b ) = { a , b } { a , b } = { a a , a b , b a , b b } L((a|b)(a|b)) = L(a|b)L(a|b) = \{a,b\}\{a,b\} = \{aa,ab,ba,bb\}L((a∣b)(a∣b))=L(a∣b)L(a∣b)={a,b}{a,b}={aa,ab,ba,bb}
- L ( a ∗ ) = ( L ( a ) ) ∗ = { a } ∗ = { ϵ , a , a a , a a a , . . . } L(a^*) = (L(a))^* = \{a\}^* = \{\epsilon,a,aa,aaa,...\}L(a∗)=(L(a))∗={a}∗={ϵ,a,aa,aaa,...}
- L ( ( a ∣ b ) ∗ ) = ( L ( a ∣ b ) ) ∗ = a , b ∗ = { ϵ , a , b , a a , a b , b a , b b , . . . } L((a|b)^*) = (L(a|b))^* = {a,b}^* = \{\epsilon,a,b,aa,ab,ba,bb,...\}L((a∣b)∗)=(L(a∣b))∗=a,b∗={ϵ,a,b,aa,ab,ba,bb,...}
- L ( a ∣ a ∗ b ) = L ( a ) ∪ L ( a ∗ b ) = L ( a ) ∪ L ( a ∗ ) L ( b ) = { a , b , a b , a a b , a a a b , . . . } L(a|a^*b) = L(a) \cup L(a^*b) = L(a) \cup L(a^*)L(b) = \{a,b,ab,aab,aaab,...\}L(a∣a∗b)=L(a)∪L(a∗b)=L(a)∪L(a∗)L(b)={a,b,ab,aab,aaab,...}
注：可以用RE定義的語言叫做正則語言(regular language)或正則集合(regular set)。
RE的代數定理
| 定律 | 描述 |
|---|---|
| r | s = s | r | | 是可以交換的 |
| r | (s | t) = (r | s) | t | | 是可以結合的 |
| r ( s t ) = ( r s ) t | 連接是可以結合的 |
| r (s | t) = rs | rt | 連接對 | 是可分配的 |
| ϵ r = r ϵ = r \epsilon r = r \epsilon = rϵr=rϵ=r | ϵ \epsilonϵ是連接的單位元 |
| $r^* = (r | \epsilon)^*$ |
| r ∗ ∗ = r ∗ r^{**} = r^*r∗∗=r∗ | *具有冪等性 |
正則文法與正則表達式等價
- 對任何正則文法
G，存在定義同一語言的正則表達式r - 對任何正則表達式
r，存在生成同一語言的正則文法