編譯原理：深入理解正則表達式與NFA、DFA狀態機

正則表達式

1 基本概念

1.1 正則

正則表達式是語法，正則語言是語義

def（正則表達式）：

給定字母表 Σ, Σ 上的正則表達式由且僅由以下規則定義:

1. ϵ 是正則表達式;

2. ∀a ∈ Σ, a 是正則表達式;

3. 如果 r 是正則表達式, 則 (r) 是正則表達式;

4. 如果 r 與 s 是正則表達式, 則 r|s, rs, r^∗ 也是正則表達式。

運算優先級: () ≻ ∗ ≻ 連接 ≻ |

def（正則表達式對應的語言）：

L(ϵ) = {ϵ}

L(a) = {a}, ∀a ∈ Σ

L((r)) = L(r)

• L(r|s) = L(r)∪L(s)
• L(rs) = L(r)L(s)
• L(r^∗) = (L(r))^∗

1.2 自動機

兩大要素：

• 狀態集S
• 狀態轉移函數δ

1.3 NFA

Nondeteministic Finite Automaton，非確定自動狀態機

A 是一個五元組 A = (Σ, S, s0, δ, F):

1. 字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)

2. 有窮的狀態集合 S

3. 唯一的初始狀態 s0 ∈ S

4. 狀態轉移函數 δ

   δ : S × (Σ ∪ {ϵ}) → 2^S

5. 接受狀態集合 F ⊆ S

A 定義了一種語言 L(A): 它能接受的所有字符串構成的集合

約定：所有沒有對應出邊的字符默認指向一個不存在的 “空狀態” ∅

關於自動機的兩個問題：

• 給定字符串x，x是否屬於L(A)
• L(A)究竟是什么

1.4 DFA

Deterministic Finite Automaton，確定性有窮自動機

A 是一個五元組 A = (Σ, S, s0, δ, F):

1. 字母表 Σ (ϵ !∈ Σ)

2. 有窮的狀態集合 S

3. 唯一的初始狀態 s0 ∈ S

4. 狀態轉移函數 δ

   δ : S × Σ → S

5. 接受狀態集合 F ⊆ S

約定: 所有沒有對應出邊的字符默認指向一個不存在的 “死狀態”

NFA vs DFA

1. 對於字母表中的每個符號，DFA中的每個狀態都有且只有一條關於這個符號的出邊（exiting transition）。NFA則未必，在同一個狀態上可能有零條、一條甚至多條關於某一個符號的出邊。
2. DFA的轉換箭頭上的標簽必須是字母表中的，但NFA可以有標識為ϵ的邊，NFA的狀態可能有零條、一條甚至多條ϵ邊。

1.5 下文將介紹的

2 RE到NFA：Tompson構造法

2.1 從正則表達式的定義出發

回顧一下正則表達式的遞歸定義：def（正則表達式）：

給定字母表 Σ, Σ 上的正則表達式由且僅由以下規則定義:

1. ϵ 是正則表達式;
2. ∀a ∈ Σ, a 是正則表達式;
3. 如果 r 是正則表達式, 則 (r) 是正則表達式;
4. 如果 r 與 s 是正則表達式, 則 r|s, rs, r^∗ 也是正則表達式。

2.2 Tompson構造法

Tompson構造法就是從這四條規則出發，定義了四個基本狀態

• ϵ 是正則表達式

  

• a ∈ Σ 是正則表達式

  

• 如果 s 是正則表達式, 則 (s) 是正則表達式

  沒什么好說的

• 如果 s, t 是正則表達式, 則 s|t 是正則表達式

  

• 如果 s, t 是正則表達式, 則 st 是正則表達式

  

• 如果 r, s 是正則表達式, 則r^∗ 也是正則表達式

  

2.3 例題一則

3 NFA到DFA：子集構造法

思想：用DFA模擬NFA

3.1 子集構造法

構造出的DFA，只要包含的NFA狀態中有NFA接受狀態，則該DFA狀態為DFA接受狀態

3.2 例子一則

NFA如2.3

4 DFA最小化

DFA最小化算法的基本思想：等價的狀態可以合並

4.1 如何定義等價狀態

最小化的直接想法就是，如果狀態等價，就將其合並

問題在於：如何定義等價狀態？

• 嘗試1：

  

  這個定義是錯誤的，有時過於緊，有時過於松，反例如下：

  

  A ∼ C ∼ E 但是, 接受狀態與非接受狀態必定不等價

• 嘗試2：

  

  √

4.2 從何下手

這個定義是遞歸的，該從何下手？

——反其道而行之，划分，而非合並！

4.3 流程

4.4 例子一則

紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，我們直接從一個例子入手：

注：這里的操作順序不唯一

因為接受狀態和非接受狀態必定不等價，定義Π₀ = {F, S \ F}

因此，合並AC

5 DFA到RE：Kleene構造法

• 字符串 x 對應於有向圖中的路徑
• 求有向圖中所有 (從初始狀態到接受狀態的) 路徑
• 但是, 如果有向圖中含有環, 則存在無窮多條路徑
• 不要怕, 我們有 Kleene 閉包

5.1 思想

思想上類似於floyed-warshell算法

Q的初始化：

∅ (注意: 它不是正則表達式) 的規定

• ∅r = r∅ = ∅
• ∅|r = r

5.2 算法

5.3 例子一則

• init

  

• step0

  

• step1

  

• step2