通過IP地址來查找IP歸屬地的功能，不知道你有沒有用過？沒用過也沒關系，你現在可以打開百度，在搜索框里隨便輸一個IP地址，就會看到它的歸屬地。
這個功能並不復雜，它是通過維護一個很大的IP地址庫來實現的。地址庫中包括IP地址范圍和歸屬地的對應關系。
當我們想要查詢202.102.133.13這個IP地址的歸屬地時，我們就在地址庫中搜索，發現這個IP地址落在[202.102.133.0, 202.102.133.255]這個地址范圍內，那我們就可以將這個IP地址范圍對應的歸屬地“山東東營市”顯示給用戶了。
[202.102.133.0, 202.102.133.255] 山東東營市
[202.102.135.0, 202.102.136.255] 山東煙台
[202.102.156.34, 202.102.157.255] 山東青島
[202.102.48.0, 202.102.48.255] 江蘇宿遷
[202.102.49.15, 202.102.51.251] 江蘇泰州
[202.102.56.0, 202.102.56.255] 江蘇連雲港
現在我的問題是，在龐大的地址庫中逐一比對IP地址所在的區間，是非常耗時的。假設我們有12萬條這樣的IP區間與歸屬地的對應關系，如何快速定位出一個IP地址的歸屬地呢？
是不是覺得比較難？不要緊，等學完今天的內容，你就會發現這個問題其實很簡單。
上一節我講了二分查找的原理，並且介紹了最簡單的一種二分查找的代碼實現。今天我們來講幾種二分查找的變形問題。
不知道你有沒有聽過這樣一個說法：“十個二分九個錯”。二分查找雖然原理極其簡單，但是想要寫出沒有Bug的二分查找並不容易。
唐納德·克努特（Donald E.Knuth）在《計算機程序設計藝術》的第3卷《排序和查找》中說到：“盡管第一個二分查找算法於1946年出現，然而第一個完全正確的二分查找算法實現直到1962年才出現。”
你可能會說，我們上一節學的二分查找的代碼實現並不難寫啊。那是因為上一節講的只是二分查找中最簡單的一種情況，在不存在重復元素的有序數組中，查找值等於給定值的元素。最簡單的二分查找寫起來確實不難，但是，二分查找的變形問題就沒那么好寫了。
二分查找的變形問題很多，我只選擇幾個典型的來講解，其他的你可以借助我今天講的思路自己來分析。
需要特別說明一點，為了簡化講解，今天的內容，我都以數據是從小到大排列為前提，如果你要處理的數據是從大到小排列的，解決思路也是一樣的。同時，我希望你最好先自己動手試着寫一下這4個變形問題，然后再看我的講述，這樣你就會對我說的“二分查找比較難寫”有更加深的體會了。
變體一：查找第一個值等於給定值的元素
上一節中的二分查找是最簡單的一種，即有序數據集合中不存在重復的數據，我們在其中查找值等於某個給定值的數據。如果我們將這個問題稍微修改下，有序數據集合中存在重復的數據，我們希望找到第一個值等於給定值的數據，這樣之前的二分查找代碼還能繼續工作嗎？
比如下面這樣一個有序數組，其中，a[5]，a[6]，a[7]的值都等於8，是重復的數據。我們希望查找第一個等於8的數據，也就是下標是5的元素。
如果我們用上一節課講的二分查找的代碼實現，首先拿8與區間的中間值a[4]比較，8比6大，於是在下標5到9之間繼續查找。下標5和9的中間位置是下標7，a[7]正好等於8，所以代碼就返回了。
盡管a[7]也等於8，但它並不是我們想要找的第一個等於8的元素，因為第一個值等於8的元素是數組下標為5的元素。我們上一節講的二分查找代碼就無法處理這種情況了。所以，針對這個變形問題，我們可以稍微改造一下上一節的代碼。
100個人寫二分查找就會有100種寫法。網上有很多關於變形二分查找的實現方法，有很多寫得非常簡潔，比如下面這個寫法。但是，盡管簡潔，理解起來卻非常燒腦，也很容易寫錯。
public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid = low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] >= value) { high = mid - 1; } else { low = mid + 1; } }
if (low < n && a[low]==value) return low;
else return -1;
}
看完這個實現之后，你是不是覺得很不好理解？如果你只是死記硬背這個寫法，我敢保證，過不了幾天，你就會全都忘光，再讓你寫，90%的可能會寫錯。所以，我換了一種實現方法，你看看是不是更容易理解呢？
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid;
else high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
我來稍微解釋一下這段代碼。a[mid]跟要查找的value的大小關系有三種情況：大於、小於、等於。對於a[mid]>value的情況，我們需要更新high= mid-1；對於a[mid]<value的情況，我們需要更新low=mid+1。這兩點都很好理解。那當a[mid]=value的時候應該如何處理呢？
如果我們查找的是任意一個值等於給定值的元素，當a[mid]等於要查找的值時，a[mid]就是我們要找的元素。但是，如果我們求解的是第一個值等於給定值的元素，當a[mid]等於要查找的值時，我們就需要確認一下這個a[mid]是不是第一個值等於給定值的元素。
我們重點看第11行代碼。如果mid等於0，那這個元素已經是數組的第一個元素，那它肯定是我們要找的；如果mid不等於0，但a[mid]的前一個元素a[mid-1]不等於value，那也說明a[mid]就是我們要找的第一個值等於給定值的元素。
如果經過檢查之后發現a[mid]前面的一個元素a[mid-1]也等於value，那說明此時的a[mid]肯定不是我們要查找的第一個值等於給定值的元素。那我們就更新high=mid-1，因為要找的元素肯定出現在[low, mid-1]之間。
對比上面的兩段代碼，是不是下面那種更好理解？實際上，很多人都覺得變形的二分查找很難寫，主要原因是太追求第一種那樣完美、簡潔的寫法。而對於我們做工程開發的人來說，代碼易讀懂、沒Bug，其實更重要，所以我覺得第二種寫法更好。
變體二：查找最后一個值等於給定值的元素
前面的問題是查找第一個值等於給定值的元素，我現在把問題稍微改一下，查找最后一個值等於給定值的元素，又該如何做呢？
如果你掌握了前面的寫法，那這個問題你應該很輕松就能解決。你可以先試着實現一下，然后跟我寫的對比一下。
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
我們還是重點看第11行代碼。如果a[mid]這個元素已經是數組中的最后一個元素了，那它肯定是我們要找的；如果a[mid]的后一個元素a[mid+1]不等於value，那也說明a[mid]就是我們要找的最后一個值等於給定值的元素。
如果我們經過檢查之后，發現a[mid]后面的一個元素a[mid+1]也等於value，那說明當前的這個a[mid]並不是最后一個值等於給定值的元素。我們就更新low=mid+1，因為要找的元素肯定出現在[mid+1, high]之間。
變體三：查找第一個大於等於給定值的元素
現在我們再來看另外一類變形問題。在有序數組中，查找第一個大於等於給定值的元素。比如，數組中存儲的這樣一個序列：3，4，6，7，10。如果查找第一個大於等於5的元素，那就是6。
實際上，實現的思路跟前面的那兩種變形問題的實現思路類似，代碼寫起來甚至更簡潔。
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] >= value) {
if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid;
else high = mid - 1;
} else {
low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
如果a[mid]小於要查找的值value，那要查找的值肯定在[mid+1, high]之間，所以，我們更新low=mid+1。
對於a[mid]大於等於給定值value的情況，我們要先看下這個a[mid]是不是我們要找的第一個值大於等於給定值的元素。如果a[mid]前面已經沒有元素，或者前面一個元素小於要查找的值value，那a[mid]就是我們要找的元素。這段邏輯對應的代碼是第7行。
如果a[mid-1]也大於等於要查找的值value，那說明要查找的元素在[low, mid-1]之間，所以，我們將high更新為mid-1。
變體四：查找最后一個小於等於給定值的元素
現在，我們來看最后一種二分查找的變形問題，查找最后一個小於等於給定值的元素。比如，數組中存儲了這樣一組數據：3，5，6，8，9，10。最后一個小於等於7的元素就是6。是不是有點類似上面那一種？實際上，實現思路也是一樣的。
有了前面的基礎，你完全可以自己寫出來了，所以我就不詳細分析了。我把代碼貼出來，你可以寫完之后對比一下。
public int bsearch7(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] > value) {
high = mid - 1;
} else {
if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid;
else low = mid + 1;
}
}
return -1;
}
解答開篇
好了，現在我們回頭來看開篇的問題：如何快速定位出一個IP地址的歸屬地？
現在這個問題應該很簡單了。如果IP區間與歸屬地的對應關系不經常更新，我們可以先預處理這12萬條數據，讓其按照起始IP從小到大排序。如何來排序呢？我們知道，IP地址可以轉化為32位的整型數。所以，我們可以將起始地址，按照對應的整型值的大小關系，從小到大進行排序。
然后，這個問題就可以轉化為我剛講的第四種變形問題“在有序數組中，查找最后一個小於等於某個給定值的元素”了。
當我們要查詢某個IP歸屬地時，我們可以先通過二分查找，找到最后一個起始IP小於等於這個IP的IP區間，然后，檢查這個IP是否在這個IP區間內，如果在，我們就取出對應的歸屬地顯示；如果不在，就返回未查找到。
內容小結
上一節我說過，凡是用二分查找能解決的，絕大部分我們更傾向於用散列表或者二叉查找樹。即便是二分查找在內存使用上更節省，但是畢竟內存如此緊缺的情況並不多。那二分查找真的沒什么用處了嗎？
實際上，上一節講的求“值等於給定值”的二分查找確實不怎么會被用到，二分查找更適合用在“近似”查找問題，在這類問題上，二分查找的優勢更加明顯。比如今天講的這幾種變體問題，用其他數據結構，比如散列表、二叉樹，就比較難實現了。
變體的二分查找算法寫起來非常燒腦，很容易因為細節處理不好而產生Bug，這些容易出錯的細節有：終止條件、區間上下界更新方法、返回值選擇。所以今天的內容你最好能用自己實現一遍，對鍛煉編碼能力、邏輯思維、寫出Bug free代碼，會很有幫助。
課后思考
我們今天講的都是非常規的二分查找問題，今天的思考題也是一個非常規的二分查找問題。如果有序數組是一個循環有序數組，比如4，5，6，1，2，3。針對這種情況，如何實現一個求“值等於給定值”的二分查找算法呢？
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