第二章-隨機變量分布

隨機變量的概念: 對於Ω, X=X(ω), 實值函數

• 離散型: 有限個事件, 無限可排列個
• 非離散型:連續型 
• X的所有取值x_k(k=1,2,3...)如果實無限個, 那就是可列個, P(X=x_k)=p_k, 概率函數(分布)
• 當事件和概率以表格的形式呈現出來, 就叫做概率分布表
• 事件和事件對應的概率以圖的形式呈現出來, 叫做概率分布圖

連續型隨機變量及其概率密度函數

• 頻數: 出現的次數
• 定義: X的取值實某個區間的實數, 若存在非負可積函數f(x), f使得(x)≥0, 都有a≤b,  P{a<x≤b}=∫_a^bf(x)dx  x:連續, f(x)叫做概率分布密度函數
  • f(x)≥0)
  • ∫_-∞^+∞f(x)=1
  • 連續性隨機變量取個別值的概率為0
• 連續性, 端點無所謂
  • P{a≤x≤b}=P{a≤x<b}=P{a<x≤b}=P{a<x<b}
  • P{x<a}=P{x≤a}
  • P{x>a}=P{x≥a}
  • 概率為0的事件未必實不可能事件
  • 概率為1的事件也未必是必然事件

分布函數:對離散型,連續性都成立

• 分布函數F(x)=P(X≤x), 分布函數就是隨機變量的取值不超過x的概率, 事一個普通的實函數
• 性質1: 0≤F(x)≤1, x€(-∞, +∞)
• 分布函數F(x),是不減函數, x1<x2, F(x1)<F(x2)
  • lim_x→+∞F(x)=F(+∞)=1
  • lim_x→-∞F(x)=F(-∞)=0
• F(x)右連續
  • 離散性: 右連續
  • 連續性: 左右都連續
• 公式: F(x)=P(X≤x)   (對離散性, 連續性, 都成立)
  • P{X≤a}=F(a)
  • P{X>a}=1-P{X≤a}=1-F(a)
  • P{a<X<b}=P{X≤b}-P{X≤a}=F(b)-F(a)
  • P{X=a}=F(a)-F(a-0)
  • P{a≤X≤b}=F(b)-F(a-0)
  • P{X<a}=F(a-0)
  • P{X≥a}=1-F(a-0)

分布函數→概率

• 間斷點局勢x的取值
• P{X=x_p}=F(X_k)-F(x_k-0)
• F(x) = P{X=x}=∫_-∞^xf(t)dt

常見隨機變量的分布:

• 0-1分布

• X	1	0
  P	p	1-p

• P{X=k}=P^k(1-p)^1-k  k=0,1...
• 特點: 有兩種結果: 試驗只做一次
• 最可能值:
  • (n+1)p不為整數, [(n+1)p]達到最大值
  • (n+1)p是整數, (n+1)p, (n+1)p-1是最值
• 幾何分布:
  • P(A)=p, 第k次首次發生, 前k-1次未發生, P{X=k}=(1-p)^k-1p    X~G(p)
• 二項分布:
  • P(A)=p, n次試驗, 發生了k次, 所以公式:
    • P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^n-k
    • 知道k求概率
• 泊松分布:
  • P{X=k}=(λ^k)/(k!)e^-λ  k = 0,1,2,3,...   λ>0, X~P(λ)
  • 知道概率, 求k
• 超幾何分布:
  • N個元素: N1個屬於第一類, N2個屬於第二類, 取n個, X:n個屬於第一類的個數
    • P{X=k}=C_N1^kC_N2^n-k/C_Nⁿ   k=0,1,2,3,...
    • 超幾何分布可以描述不放回的抽樣實驗, 當N很大時, n相對與N影響很小,
      • P = {X=k}=C_M^kC_N-M^n-k/C_Nⁿ ≈ C_n^kp^k(1-p)^{n-k  \}
• 二項分布: n≥100, np≤10, 用泊松分布近似計算λ=np
• 超級幾何分布: (N大, n/N小)→二項分布→泊松分布(近似)

 

連續型分布:

• 均勻分布: 在區間內均勻分布
  • f(x) = 1/(b-a)  a≤x≤b
• 指數分布: 
  • f(x) = λe^-λx   x>0  or   0  x≤0,   (λ>0, X~Exp(λ))

正態分布:

• Φ(x)=1/[(2π)^1/2σ]e-(x-μ)²/(2σ²)     -∞<x<+∞   X~N(μ, σ²)
• ∫_-∞^+∞e^-x2dx=π^1/2  
• 性質1: y=φ(x)是以x=μ未對稱軸, 鍾形圖形
  
  • x=μ時, φ(x)最大值為1/[(2π)^1/2σ]
• 性質2: y = φ(x)以x軸未漸近線, x=μ+σ是拐點
• 性質3: σ固定: μ變化, 左右移動
  • μ固定: σ變化, 
    
    • σ變小, 最高點上移, 圖形邊陡
    • σ變大, 最高點下移, 圖像變緩

標准正態分布:

• 當μ=0, σ=1, Φ₀(x)=1/[(2π)^1/2]e-(x²/2)   -∞<x<+∞
• 性質1: y軸是對稱軸, 偶函數  Φ₀(x) = Φ₀(-x)   Φ₀(-x)=1-Φ₀(x)
• 一般正態分布→標准正態分布
  • Φ(x)=Φ₀[(x-μ)/σ]
  • eg: X~N(1,4)服從一般正態分布, 求P{0<X<1.6}的概率
    • 因為X~N(1,4)服從一般正太分布, 所以 μ=1, σ=2
    • P{0<X<1.6}=Φ(1.6)-Φ(0)=Φ₀[(1.6-1)/2] - Φ₀[(0-1)/2] = Φ₀(0.3)-Φ₀(-0.5)=Φ₀(0.3)-(1-Φ₀(0.5))
• 上分位數:
  • X~N(0,1)服從一般正態分布, 給定α(0<α<1), 找出μ_α, P{X>μ_α}, 此時μ_α叫做上分位數

隨機變量函數的分布:

• 離散型: 已知X是某分布, 則新構造的函數的概率和原概率不變, 如果新構造的函數重復,就需要把重復的變量合起來.
• 連續型: 連續函數, 分布公式: F(x)=P{X≤x}
  • F_x(x) = P{X≤x}
  • F_Y(x) = P{Y≤x}
    • 用F_Y(x)→F_X(x):用x來表示y的分布函數
    • 兩邊同時求導: 來能改變同事求導的密度函數 
      • F_Y(x)→求導→f_Y(x)
      • F_X(x)→求導→fx(x)
• 定理2.1: X的密度函數fx(x), 引入 Y=Kx+b, f_Y(x)=1/|k|fx[(x-b)/k]