CH3--多維隨機變量及其分布
聯合分布函數：
由它們構成的有序數組\((X,Y)\)稱為二維隨機變量或二維隨機向量
\[P\left(X=x_{i}, Y=y_{j}\right)=p_{i j}, i, j=1,2, \cdots \]
聯合分布函數的基本性質：
1.(單調性) \(F(x, y)\)關於 x 和 y 分別單調增
2.(有界性)\(F(-\infty, y)=F(x,-\infty)=0, \quad F(+\infty,+\infty)=1\)
(3)(右連續性)$$ F(x, y) 關於 x 和 y 分別右連續.$$
聯合分布列
\[\text { (1)(非負性) } \quad p_{i j} \geq 0, \quad i, j=1,2, \ldots \]
\[\text { (2)(正則性) } \quad \Sigma \Sigma p_{i j}=1 \]
\(若(X, Y) 的可能取值為有限對、或可列對， 則稱(X, Y)為二維離散隨機變量.\)
聯合密度函數：
\[如果存在非負函數f(x,y)，使 \]
\[F(x, y)=\iint_{D} f(x, y) d \sigma=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(x, y) d x d y \]
\[則稱(X,Y)為二維連續型隨機變量，函數f(x,y)為二維隨機變量(X,Y)的概率密度 \\或稱為隨機變量X和Y的聯合概率密度 \]
聯合密度函數性質：
\[\text { (1) } \quad p(x, y) \geq 0 (非負性)\]
\[\text { (2) } \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=1(正則性)\]
\[注意：P\{(X, Y) \in D\}=\iint_{D} p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y \]
常用多維分布
#正態分布
二維正態分布
\[(X, Y)服從正態分布 \]
\[(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right) \]
正態分布的可加性
若$$X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), \quad Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$$且獨立
\[則Z=X \pm Y \sim N\left(\mu_{1} \pm \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) \]
注意：
\(X −Y\) 不服從\(N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}-\sigma_{2}^{2}\right)\)
\(X-Y \sim N\left(\mu_{1}-\mu_{2}, \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right)\)
邊緣分布：
Question：$$已知二維隨機變量 (X, Y) 的分布，
如何求出 X 和 Y 各自的分布？$$
邊際分布函數
巳知 \((X, Y)\)的聯合分布函數為 \(F(x, y)\)，
則
\[\begin{array}{l}{X \sim F_{X}(x)=F(x,+\infty)} \\ {Y \sim F_{Y}(y)=F(+\infty, y)}\end{array} \]
二維變量其中一個概率為1時另一個的分布。
例：關於\(X\)的邊緣分布：
\[\begin{array}{l}{F_{X}(x)=F(x,+\infty)=\lim _{y \rightarrow+\infty} F(x, y)} \\ {f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y}\end{array} \]
邊際分布密度函數
\[\begin{array}{l}{p(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} y} \\ {p(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} p(x, y) \mathrm{d} x}\end{array} \]
隨機變量間的獨立性
\[\begin{array}{l}{\text { i) } \quad F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y)} \\ {\text { ii) } \quad p_{i j}=p_{i} p_{j}} \\ {\text { iii) } \quad p(x, y)=p_{X}(x) p_{Y}(y)}\end{array} \]
\[則稱X與Y是獨立的 (1) X 與Y是獨立的其本質是：\\ 注 意 點：X與Y獨立的本質是： 任對實數a, b, c, d，有\]
\[P(a<X<b, c<Y<d)=P(a<X<b) P(c<Y<d) \]
連續場合的卷積公式
\(設連續隨機變量X與Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的密度函數為\)
\[\begin{aligned} p_{Z}(z) &=\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(x) p_{Y}(z-x) \mathrm{d} x \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} p_{X}(z-y) p_{Y}(y) \mathrm{d} y \end{aligned} \]
離散場合的卷積公式
設離散隨機變量 X 與 Y 獨立，
則 \(Z=X+ Y\) 的分布列為
\[\begin{aligned} P\left(Z=z_{l}\right) &=\sum_{i=1}^{\infty} P\left(X=x_{i}\right) P\left(Y=z_{l}-x_{i}\right) \\ &=\sum_{j=1}^{\infty} P\left(X=z_{l}-y_{j}\right) P\left(Y=y_{j}\right) \end{aligned} \]
變量變換法
已知 \((X, Y)\) 的分布， \((X,Y)\) 的函數
\[\left\{\begin{array}{l}{U=g_{1}(X, Y)} \\ {V=g_{2}(X, Y)}\end{array}\right. \]
求 \((U, V)\) 的分布.
多維隨機變量函數的數學期望
\(設 (X, Y) 是二維隨機變量， Z = g(X, Y)，則\)
\[E(Z)=E[g(X, Y)]=\left\{\begin{array}{c}{\sum_{i} \sum_{j} g\left(x_{i}, y_{j}\right) p_{i j}} \\ {\iint_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) p(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y}\end{array}\right. \]
協方差
\[\operatorname{Cov}(X, Y)=E[X-E(X)][Y-E(Y)] \]
參考資料：《概率論與數理統計教程》茆詩松版（第二版）
