小數與浮點數
很多人都會認為，小數就是浮點數。但其實非也。
小數只是一種實數的一種特殊表現形式，所有分數都可以用小數來表示。
而浮點數，是計算機領域的一個術語，浮點數代表着目前計算機表示小數的一方式。
浮點數的由來
我們都知道計算機表示特定的數據類型長度是固定的。
比如在java語言里，小數的表示，float是4字節，double是8字節。
那么這些固定長度的二進制位是如何表示小數的呢？
最直觀的表示辦法就是：固定的整數部分位數和固定的小數部分位數。比如以float為例，我們假設取前8位表示整數部分，后24位表示小數部分。則1.2用該方法表示如下：
00000001 00000000 00000000 00000000 00000010
以上這種表示小數的方法我們稱之為：定點表示法，即小數點的位置是固定的（這里固定在第24位之前）。
但是這種定點表示法有一個很大的問題，就是表示數的范圍很有限。假設我現在要表示：256.1
那么因為整數部分固定只有8位，將無法表示256，會出現溢出。
於是乎聰明的計算機科學家想到了另一種辦法：科學計數法。我們知道10進制下的科學計數法可以將一個數表示成: 1.xxx * 10^n 。
依葫蘆畫瓢，那么2進制的科學計數法應該長這樣：1.xxx * 2^n
那么我們在存儲小數的時候，可以用一部分存儲指數：n，一部分存儲小數：xxx 即可。
而這種表示的方式下，其實小數點沒有固定的位置，既小數點是浮動的。所以我們也就稱這種存儲方式下的數字為浮點數。
浮點數的存儲規范：IEEE 754
IEEE二進制浮點數算術標准（IEEE 754）是20世紀80年代以來最廣泛使用的浮點數運算標准，為許多CPU與浮點運算器所采用。
這個標准定義了表示浮點數的格式（包括負零-0）與反常值（denormal number）），一些特殊數值（無窮（Inf）與非數值（NaN）），以及這些數值的“浮點數運算符”；
它也指明了四種數值舍入規則和五種例外狀況（包括例外發生的時機與處理方式）。
說人話就是：一個浮點數可以表示如下：
value = sign x exponent x fraction
其中value表示浮點數的實際值
sign(bit)表示符號位: 0表示整數 1表示負數
exponent表示的是轉換成科學計數法后的指數偏移值
fraction表示小數部分
知道浮點數的具體表示方式之后，接下來就是要確定每一部分所占的長度。
在IEEE 754標准中，對於32位浮點數的各部分長度約定如下：
·1bit的sign + 8bit的exponent + 23bit的fraction·
而對於64位的浮點數的各部分長度約定如下：
·1bit的sign + 11bit的exponent + 52bit的fraction·
我們前面說過exponent並不是科學計數法之后的實際指數，而是代表科學計數法后的指數偏移量。那么怎么個偏移法呢？
其實在IEEE 754中也對這個做了規定。我們假設k表示exponent所占的總位數，n表示轉換成科學計數法之后的實際指數值，那么最終exponent = 2^(k-1) + n
為什么要這么設計呢？我們知道小數可能是不帶整數的，這時候如果轉換成科學計數法之后實際指數值就應該是負數。
對於指數為負數的情況，我們很自然地會想到用exponent部分的第一位表示正負，然后對於負數值采用補碼的方式來表示（取反加一）。
而原來整個value值也有一個sign位表示正負，剩余位在小數為負數的時候也需要使用補碼方式來表示。
我們假設這樣一種情況：指數為負數且小數為負數，那么對exponent部分的兩次取反加1會導致最終結果不可預知。
因此，最后IEEE 754采用了：exponent = 2^(k-1) + n 這種方式來存儲指數的偏移值。
java中如何查看浮點數的二進制表示
我們可以使用如下兩行代碼來查看0.1分別在32位和64位下的二級制形式：
System.out.println(Integer.toString(Float.floatToIntBits(0.1f), 2)); // 111101110011001100110011001101
System.out.println(Long.toString(Double.doubleToLongBits(0.1), 2)); // 11111110111001100110011001100110011001100110011001100110011010
我們將高位補0，並且按照前面所講的sign + exponent + fraction的形式將兩者拆解如下：
0 01111011 10011001100110011001101
0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011010
要將一個小數轉換成浮點數的形式，首先要求得小數的二進制表示法。0.1的整數部分為0，整數部分的如果用8位表示則為：00000000。
小數部分的0.1如何轉換成2進制呢？這里我們仍然要從10進制小數來進行推導。
我們假設計算機是以10進制的形式來存儲數據的。那么對於0.631，小數部分第1位存儲的應該直接就是6，也就是0.631 * 10 的整數部分。
第2位存儲的應該就是3，也就是 0.31 * 10 （在第一步去掉整數部分之后再乘以10的整數部分）。同理第3位存儲的就是1，0.1 * 10。
於是乎我們可以得到0.1作為二進制在計算機中的存儲：
第一位： 0.1 * 2 = 0.2 的整數部分 0
第二位： 0.2 * 2 = 0.4 的整數部分 0
第三位： 0.4 * 2 = 0.8 的整數部分 0
第四位： 0.8 * 2 = 1.6 的整數部分 1 ---》再去掉整數部分后為0.6
第五位： 0.6 * 2 = 1.2 的整數部分 1 ---》再去掉整數部分后為0.2
第六為： 0.2 * 2 = 0.4 的整數部分 0
第七位： 0.4 * 2 = 0.8 的整數部分 0
第八位： 0.8 * 2 = 1.6 的整數部分 1 ---》再去掉整數部分后為0.6
第九位： 0.6 * 2 = 1.2 的整數部分 1 ---》再去掉整數部分后為0.2
.....
綜上，我們得到0.1的二進制存儲應該為：0001100110011...(0011循環)。
於是，0.1的整個二進制表示為： 00000000.0001100110011...(0011循環)
轉換成科學計數法為：1.100110011...(0011循環) * 2^(-4)。
按照IEEE 754標准，如果是32位的表示法，那么exponent = 2 ^ 7 + (-4) = 01111011
如果是64位表示法，則exponent = 2 ^ 10 + (-4) = 01111111011
再按照 sign + exponent + fraction的表示方法拼接起來即得到32位和64位的表示分別如下：
0 01111011 100110011001100110011...（0011循環）
0 01111111011 100110011001100110011001100110011001100110011...（0011循環）
最后剩下的問題就是：小數的存儲位數是固定的，那么如果將循環的部分截斷呢？這就涉及到舍入規則。
舍入的規則如下：即如果左規或右規時丟棄的是0，則舍去不計，反之要將尾數的末尾加1。
我們同樣以0.1為例，32位情況下，小數部分的最終表示如下：10011001100110011001101
我們知道小數部分最后是0011循環，所以最后一位數字本來應該是0，但是因為緊接着的是1，所以最終截取之后還需要進行加1操作，於是就得到1。
64位的表示法同樣也可以根據這個規則得到。
